第三章 一元一次方程
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·江苏扬州期末)下列方程中,解是x=1的是( )
A.-x-1=0 B.8+x=9
C.2x-3=5 D.4x=-4
2.(2022·江苏南通期末)将方程-
=1去分母,结果正确的是( )
A.2x-3(1-x)=6 B.2x-3(x-1)=6
C.2x-3(x+1)=6 D.2x-3(1-x)=1
3.(2022·广东汕头澄海区期末)若(m-2)x|m|-1+3=12是关于x的一元一次方程,则m的值为( )
A.1 B.2 C.-2 D.±2
4.(2022·福建南平期末)已知等式2a=b+5,则下列等式不一定成立的是( )
A.2a-5=b B.2a+1=b+6
C.2ac=bc+5 D.a=b+
5.如图,处于平衡状态的天平中,若每个A的质量为20 g,则每个B的质量为( )
A.5 g B.10 g C.15 g D.20 g
6.(2022·湖北潜江期末)如果单项式-xyb+1与xa+2y3是同类项,那么关于x的方程ax+b=0的解为( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
7.在风速为24 km/h的条件下,一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h,它逆风飞行同样的航线要用3 h,求无风时这架飞机在这一航线的平均航速.设无风时这架飞机的平均航速为x km/h,则根据题意可列方程为( )
A.2.8(x+24)=3(x-24)
B.2.8(x-24)=3(x+24)
C.=
D.-24=+24
8.(2022·福建龙岩新罗区期末)已知某商店两件进价不同的商品都卖了1 200元.若其中一件商品盈利20%,另一件商品亏损20%,则在这次买卖中,该商店( )
A.不赢不亏
B.盈利100元
C.亏损100元
D.亏损300元
9.(2022·福建福州台江区期末)若关于x的方程2x+7=x+13的解是x=4,则关于y的方程2(y+1)+7=(y+1)+13的解是( )
A.y=8 B.y=9 C.y=16 D.y=17
10.(2022·湖北荆州期末改编)小涵在某月历上圈出了三个数a,b,c,并算出它们的和为30,则这三个数在月历中的位置不可能是( )
a |
b |
c |
a | ||
b | ||
c | ||
a | b |
c |
a | |
b | |
c |
A. B. C. D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.新风向 开放性试题(2021·北京怀柔区期末)写出一个一元一次方程,要求:所写的方程必须直接利用等式的性质2求解.这个方程可以为 .
12.若a,b互为相反数,且a≠b,则方程ax+b=0的解为 .
13.(2022·山西临汾期末)若x=2是关于x的一元一次方程ax-b=3的解,则4a-2b+1的值是 .
14.(2022·山东潍坊期末)整式3ax+4b的值会随x的取值不同而不同,下表是当x取不同值时对应的该整式的值,则关于x的方程-(3ax+4b)=4的解是 .
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
3ax+4b | 14 | 8 | 2 | -4 | -10 |
15.琪琪与弟弟今年的年龄加起来一共18岁,再过5年,琪琪的年龄比弟弟年龄的2倍还大4岁,则琪琪今年的年龄为 岁.
16.新风向 新定义试题(2022·湖北孝感期末改编)对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b两数中较大的数,例如max{2,-4}=2.按照这个规定,方程max{x,-x}=2x+1的解为 .
选择填空题答题区
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
答案 | ||||||||||||
填空 | 11. | 12. | 13. | |||||||||
14. | 15. | 16. | ||||||||||
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(6分)(2021·北京房山区期末)下面是小彬解方程3(x-2)=4x+5的过程,请认真阅读并解答问题.
解:3x-2=4x+5,第①步
3x-4x=5+2,第②步
-x=7,第③步
x=-7.第④步
(1)以上步骤中,第 步是移项,移项的依据是: ;
(2)小彬解方程的过程从第 步开始出错,错误的原因是 ;
(3)请直接写出该方程的正确解是:x= ;
(4)除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
18.(8分)小亮在解关于x的方程-=1时,在去分母这一步方程右边的“1”忘记乘12,而求得的解为x=7.
(1)请求出a的值;
(2)求原方程的解.
19.(8分)(2022·广东广州花都区期末)一本课外读物共有80页,小明用了三天时间阅读完.已知小明第一天阅读了x页,第二天阅读的页数比第一天的2倍少30页,第三天阅读的页数比第一天的多20页.求小明这三天分别阅读了多少页.
20.(9分)(2022·广西贵港覃塘区期末改编)甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做需30天完成,乙单独做需20天完成,合同规定这项工程需15天完成,否则每超过一天罚款2 000元,甲、乙两人商量后签了合同.
(1)正常情况下,甲、乙两人能否履行该合同?请说明理由.
(2)现两人一起完成了这项工程的75%,因别处有急事,必须调走一人,问调走谁比较合适.请说明理由.
21.(10分) 新风向 关注数学文化“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步.
(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人.
22.(11分)(2022·广东揭阳期末)如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=16 cm,AC=12 cm,BC=20 cm.若点P从点A开始出发以2 cm/s的速度沿A→B→C的方向移动,终点为C,点Q从点C开始出发以1 cm/s的速度沿C→A→B的方向移动,终点为B.如果点P,Q同时出发,用t(s)表示移动时间.
(1)分别求出点P,Q到达终点所需的时间.
(2)若点P在线段AB上运动,点Q在线段CA上运动,则t为何值时,AQ=AP?
(3)当t为何值时,三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的?
第三章 一元一次方程
选择填空题答案速查
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
B | A | C | C | B | C | A | C | B | D |
11.3x=5(答案不唯一) | 12.x=1 | 13.7 | |||||||
14.x=0 | 15.15 | 16.x=- | |||||||
1.B (直接代入法)将x=1代入,可得只有B选项符合题意.
2.A 将方程-=1等号两边同时乘以6,结果是2x-3(1-x)=6.
高分锦囊
利用等式的性质2对方程去分母时,方程两边同时乘以6,要注意常数项1不要漏乘6,否则会导致求解出错.
3.C 根据一元一次方程的定义,可得|m|-1=1,且m-2≠0,解得m=-2.
4.C 原等式两边同时减5,可得到2a-5=b;原等式两边同时加1,可得到2a+1=b+6;原等式两边同时乘以c,可得到2ac=bc+5c;原等式两边同时除以2,可得到a=b+.故选C.
5.B 设每个B的质量为x g,根据题意,得2×20+x=20+3x,解得x=10.
6.C 根据题意得a+2=1,b+1=3,解得a=-1,b=2.把a=-1,b=2代入关于x的方程ax+b=0,得-x+2=0,解得x=2.
7.A 由题意得2.8(x+24)=3(x-24).
8.C 设盈利20%的那件商品进价是x元,则(1+20%)x=1 200,解得x=1 000.设亏损20%的那件商品进价是y元,则(1-20%)y=1 200,解得y=1 500.因为1 000+1 500=2 500(元),1 200×2=2 400(元),2 500-2 400=100(元),所以亏损100元.
一题多解
由题意可得,盈利20%的那件商品的进价为1 200÷(1+20%)=1 000(元),亏损20%的那件商品的进价为1 200÷(1-20%)=1 500(元).因为1 000+1 500=2 500(元),1 200×2=2 400(元),2 500-2 400=100(元),所以亏损100元.
9.B (整体思想)因为x=4是方程2x+7=x+13的解,所以把y+1看作一个整体,则方程2(y+1)+7=(y+1)+13的解为y+1=4,解y+1=4,得y=9.
10.D 观察选项可知,最小的数是a,根据月历表中的数与数之间的关系可得,A选项中,a+a+7+a+14=30,解得a=3,不符合题意;B选项中,a+a+6+a+12=30,解得a=4,不符合题意;C选项中,a+a+1+a+8=30,解得a=7,不符合题意;D选项中,a+a+6+a+14=30,解得a=,符合题意.故选D.
11.3x=5[答案不唯一,形如ax=b(a≠0)即可] 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
12.x=1 因为a,b互为相反数,所以a+b=0.由ax+b=0,得x=1.
13.7 (整体思想)因为x=2是关于x的方程ax-b=3的解,所以2a-b=3,所以4a-2b=2(2a-b)=6,所以4a-2b+1=7.
一题多解
因为x=2是关于x的方程ax-b=3的解,所以2a-b=3,所以2a=b+3,所以4a-2b+1=2(b+3)-2b+1=2b+6-2b+1=7.
14.x=0 由题意得3a×0+4b=-4,解得b=-1,代入3a×1+4b=-10,解得a=-2,所以-(3ax+4b)=4,即-6x-4=-4,解得x=0.
快解妙解
因为-(3ax+4b)=4,所以3ax+4b=-4.观察题表可得,当x=0时,3ax+4b=-4,即关于x的方程-(3ax+4b)=4的解是x=0.
15.15 设琪琪今年的年龄为x岁,则弟弟今年的年龄为(18-x)岁,5年后,琪琪的年龄是(x+5)岁,弟弟的年龄是[(18-x)+5]岁.根据题意,得x+5=2[(18-x)+5]+4,解得x=15.即琪琪今年的年龄为15岁.
一题多解
设五年后弟弟y岁,则琪琪五年后(2y+4)岁.因为琪琪和弟弟今年一共18岁,所以五年后琪琪和弟弟一共28岁,即可列方程y+2y+4=28,解得y=8,即2y+4=20,所以琪琪今年的年龄为20-5=15(岁).
16.x=- 因为max{a,b}表示a,b两数中较大的数,所以max{x,-x}=x或-x,所以2x+1=x或-x.当2x+1=x时,解得x=-1,此时-x=1.因为x<-x,所以x=-1不符合题意.当2x+1=-x时,解得x=-,此时-x=.因为-x>x,所以x=-符合题意.综上,方程max{x,-x}=2x+1的解为x=-.
17.【参考答案】(1)② 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等(或等式的性质1) (2分)
(2)① 应用乘法分配律时漏乘了 (4分)
(3)-11(5分)
解法提示:3(x-2)=4x+5,
3x-6=4x+5,
3x-4x=5+6,
-x=11,
x=-11.
(4)建议:移项要记得变号(答案不唯一). (6分)
本小题答案不唯一,合理即可得分.也可写:括号前是“-”时,去括号后要把括号里每一项的符号都进行变号,不能漏项;去掉分母后,若分子是多项式,要加括号视多项式为一个整体等.
18.【参考答案】(1)根据题意可知,x=7是关于x的方程3(x+2)-2(2x-a)=1的解,(1分)
则3×(7+2)-2×(2×7-a)=1,(3分)
解得a=1.(4分)
(2)由(1)知a=1,
所以原方程为-=1,(5分)
去分母,得3(x+2)-2(2x-1)=12,
去括号,得3x+6-4x+2=12,
移项,得3x-4x=12-6-2,
合并同类项,得-x=4,
系数化为1,得x=-4.(8分)
19.【参考答案】因为小明第一天阅读了x页,
所以小明第二天阅读了(2x-30)页,第三天阅读了(x+20)页.(2分)
依题意得x+(2x-30)+(x+20)=80,
解得x=27,(5分)
所以2x-30=2×27-30=24,
x+20=×27+20=29.
答:小明第一天阅读了27页,第二天阅读了24页,第三天阅读了29页.(8分)
20.【解题思路】(1)根据“(甲的工作效率+乙的工作效率)×合作天数=1”列方程求解;(2)根据“(甲的工作效率+乙的工作效率)×合作天数=1×75%”列方程,解方程得到合作天数,然后分别计算甲、乙两人单独完成剩下工程所需要的天数,加以判断.
【参考答案】(1)能履行该合同.(1分)
理由如下:
设甲、乙两人合作需要x天完成,
由题意,得(+)x=1
解得x=12.
因为12<15,
所以甲、乙两人能履行该合同.(4分)
(2)设两人一起完成这项工程的75%用时y天,由题意,得(+)y=,
解得y=9.(6分)
剩下的工程若由甲单独做,需要的时间是
÷=7.5(天),
剩下的工程若由乙单独做,需要的时间是
÷=5(天).
因为9+7.5=16.5>15,而9+5=14<15,
所以调走甲比较合适.(9分)
21.【参考答案】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人走x步,由题意得=,(2分)
解得x=1 000.
1 000-600-100=300(步).
答:当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步.(5分)
(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,
由题意得y=200+y,(8分)
解得y=500.
答:走路快的人走500步才能追上走路慢的人.(10分)
22.思路导图
(1)依据“时间=路程÷速度”求解即可
(2)分别用t表示线段AQ,AP的长t
(3)分情况
讨论
t
【参考答案】(1)点P到达终点所需的时间为(16+20)÷2=18(s).
点Q到达终点所需的时间为(12+16)÷1=28(s).
答:点P,Q到达终点所需的时间分别为18 s,28 s.(3分)
(2)当点P在线段AB上运动,点Q在线段CA上运动时,
CQ=t,AP=2t,则AQ=12-t.(4分)
因为AQ=AP,
所以12-t=2t,
解得t=4,
所以t=4时,AQ=AP.(6分)
(3)(分类讨论思想)因为∠A=90°,AC=12 cm,AB=16 cm,
所以三角形ABC的面积为×12×16=96(cm2).
可分以下两种情况讨论.
当点Q在线段CA上运动时,CQ=t,
因为三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的,
所以×t×16=96×,
解得t=4.(8分)
当点Q在线段AB上运动时,
BQ=12+16-t=28-t,
因为三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的,
所以×(28-t)×12=96×,
解得t=.
综上可知,当t=4或时,三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的.(11分)
联系客服
