直线与方程

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

    直线与方程

 

二. 教学目标

1. 了解“直线的方程”的概念

2. 理解直线的倾斜角和斜率的定义；若已知直线的倾斜角，会求直线的斜率

若已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

3. 掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、斜截式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程。

4. 掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程。

5. 掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程。

 

三、知识要点

（一）直线的斜率

1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。

2. 直线的斜率：已知两点

如果

，那么直线PQ的斜率为

   

练习：直线

都经过点P（2,3），又

分别经过

试计算

的斜率。

（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜

（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。

（3）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合

说明：

1、如果

，那么直线PQ的斜率不存在（与x轴垂直的直线不存在斜率）

2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。

3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与

轴相交的直线，如果把

轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为

，那么

就叫做直线的倾斜角。

当直线和

轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。

因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤

＜180°。

4、直线倾斜角与斜率的关系：

当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有

当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有

 

概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°；

D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；

E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）。

辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：

A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在；

B.举反例说明，

C. 平行于

轴的直线的倾斜角为0；

D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等.

说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是

；③倾斜角是90°的直线没有斜率。

 

（二）直线方程

1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

问题一：已知直线

经过点

，且斜率为

，如何求直线的方程？

因为经过直线上一个定点与经过这条直线上任意一点的直线是都惟一的，其斜率都等于

。

所以

，要把它变成方程

.

因为前者表示的直线上缺少一个点

，而后者才是整条直线的方程.

2. 直线的点斜式方程

已知直线

经过点

，且斜率为

，直线的方程：

为直线方程的点斜式。

直线的斜率

时，直线方程为

；当直线的斜率

不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为

。

问题二：已知直线

经过点P（0，b），并且它的斜率为

，求直线

的方程？

3. 直线的斜截式方程

已知直线

经过点P（0，b），并且它的斜率为k，直线

的方程：

为斜截式。

说明：

（1）斜截式

在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当

时，斜截式方程才是一次函数的表达式。

（2）斜截式

中，

表示直线的斜率，b叫做直线在y轴上的截距。

4. 直线方程的两点式

已知直线上两点

，B（

，求直线方程。

首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：

由

可以导出

，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式。

注意：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示。

5. 直线方程的截距式

定义：直线与

轴交于一点（

,0）定义

为直线在

轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,

）定义

为直线在

轴上的截距。

叫做直线方程的截距式。

，

表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0。当截距为零时，不能用截距式。

直线名称	已知条件	直线方程	使用范围
点斜式			存在
斜截式			存在
两点式
截距式

直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点，但都有局限性，即无法表示平面内的任一条直线。

问题3：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？

（其中A、B、C是常数，A、B不全为0）的形式，叫做直线方程的一般式。

探究1：方程

总表示直线吗？

根据斜率存在不存在的分类标准，即B等于不等于0来进行分类讨论：

若

方程可化为

，它是直线方程的斜截式，表示斜率为

，截距为

的直线；

若B＝0，方程

变成

.由于A、B不全为0，所以

，则方程变为

，表示垂直于X轴的直线，即斜率不存在的直线.

结论：当A、B不全为0时，方程

表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线。

 

【典型例题】

例1. 若三点

，

，

共线，求

的值。

解：

 

例2. 已知两点A（－3,4）、B（3，2），过点P（2，－1）的直线

与线段AB有公共点，求直线

的斜率k的取值范围。

解：k≤－1或k≥3

 

例3. （1）直线

在

轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线

的倾斜角的2倍，则（    ）

A. A＝

，B＝1                     B. A＝－

，B＝－1

C. A＝

，B＝－1                   D. A＝－

，B＝1

解：将直线方程化成斜截式

.

因为

＝－1，B＝－1，故否定A、D

又直线

的倾斜角

＝

，

∴直线

的倾斜角为2

＝

，

∴斜率－

＝－

，

∴A＝－

，B＝－1，故选B。

（2）若直线

通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（    ）

A. A、B、C同号                B. AC＜0，BC＜0

C.C＝0，AB＜0                  D. A＝0，BC＜0

解：原方程可化为

（B≠0）

∵直线通过第二、三、四象限

∴其斜率小于0，

轴上的截距小于0，即－

＜0，且－

＜0

∴

＞0，且

＞0

即A、B同号，B、C同号  ∴A、B、C同号，故选A

 

例4. 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－

，经过点A（８，－2）；

（2）经过点B（４，2），平行于

轴；

（3）在

轴和

轴上的截距分别是

,－3；

（4）经过两点

（3，－2）、

（5，－４）.

解：（1）由点斜式得

－（－2）＝－

（

－8）

化成一般式得

＋2

－4＝0

（2）由斜截式得

＝2，化成一般式得

－2＝0

（3）由截距式得

，化成一般式得2

－

－3＝0

（4）由两点式得

，化成一般式得

＋

－1＝0

 

例5. 直线方程

的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质?

（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与

轴相交；

（3）只与

轴相交；（4）是

轴所在直线；（5）是

轴所在直线。

答：（1）当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交。

（2）当A≠0，B＝0时，直线只与

轴相交。

（3）当A＝0，B≠0时，直线只与

轴相交。

（4）当A＝0，B≠0，C＝0，直线是

轴所在直线。

（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是

轴所在直线。

 

例6. 求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程。

解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3

－2

＝0

若截距不为0，则设直线方程为

＝1

将点P（2，3）代入得

＝1，解得a＝5

∴直线方程为

＝1，即

＋

＝5

 

【模拟试题】

一、选择题

1. 下列四个命题中，真命题是（  ）

A. 经过定点

的直线都可以用方程

表示

B. 经过两个不同的点

，

的直线都可以用方程：

来表示

C. 与两条坐标轴都相交的直线一定可以用

表示

D. 经过点Q（0，b）的直线方程都可以表示为y＝kx＋b

2. 直线m（x＋y－1）＋（3y－4x＋5）＝0不能化成截距式方程，则m的值为（  ）

A. 5                             B. －3或4

C. －3或4或5           D. m∈（－∞，－3）∪（4，5）∪（5，＋∞）

3. 关于直线的斜率，下列说法中正确的是（  ）

A. 斜率是正数时，直线必过一，三象限；

B. 直线的倾斜角越大，斜率就越大；

C. 直线的位置是由斜率确定的；

D.所有直线都有斜率

4. 若点P（x₀,y₀）在直线Ax＋By＋C＝0上，则直线方程可表示为（    ）

A. A（x－x₀）＋B（y－y₀）＝0                B. A（x－x₀）－B（y－y₀）＝0

C. B（x－x₀）＋A（y－y₀）＝0               D. B（x－x₀）－A（y－y₀）＝0

5. 若直线4x－3y－12＝0被两坐标轴截得的线段长为

，则c的值为（    ）

A. 1                      B.

                    C. ±

                  D. ±1

6. 过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l有（    ）

A. 1条                  B. 2条           C. 3条                  D. 4条

7. 直线

（

＝0）的图象是（   ）

8. 若三点（2，3），（3，a），（4，b）在一条直线上，那么（    ）

A. a＝3，b＝5              B. b－a＝1

C. 2a－b＝3                 D. a－2b＝3

 

二、填空题

9. 若直线

过（－2，3）和（6，－5）两点，则直线

的斜率为       ，倾斜角为       

10. 已知两点A（x，－2），B（3，0），并且直线AB的斜率为

，则x＝           。

11. 对于任意实数k，直线

必过一定点，则该定点坐标是________。

  12. 直线

在

轴上截距是它在

轴上截距的3倍，则

等于_________。

 

三、解答题

13. 求下列直线的斜率和在

轴上的截距，并画出图形：

（1）3

＋

－5＝0；（2）

＝1；（3）

＋2

＝0；

（4）7

－6

＋４＝0；（5）2

－7＝0

14. 求经过A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。

15. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于

轴和

轴上，求菱形各边所在的直线的方程。

16. 已知直线

（1）当B≠0时，斜率是多少?当B＝0时呢?

（2）系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?

 

【试题答案】

一、选择题

1. B   2. C   3. A   4. A   5. B   6. D   7. C   8. C

7. 提示：解法一：由已知，直线

的斜率为

，在

轴上的截距为

又因为

＝0

∴

与

互为相反数，即直线的斜率及其在

轴上的截距互为相反数

图A中，

＞0，

＞0；图B中，

＜0，

＜0；图C中，

＞0，

＝0

故排除A、B、C  选D

解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率

≠0，于是令

＝0，解得

。

又因为

＝0，∴

，∴

∴直线在

轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D。

二、填空题

9. －1；135°   10. －1  11. （2，3）   12. －2

三、解答题

13. 解：（1）

＝－3，在

轴上截距为5

（2）化成斜截式得

＝

－5       ∴

＝

，b＝－5。

（3）化成斜截式得

＝－

        ∴

＝－

，b＝0。

（4）化成斜截式得

＝

      ∴

，

。

（5）化成斜截式得

＝

        ∴

＝0，b＝

。

图略

14. 解：

，就是

 

因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是

15. 解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如下图所示。

根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称。

所以A（－４，0），C（４，0），B（0，3），D（0，－3）由截距式得：

＝1，即3x－４y＋12＝0这是直线AB的方程；

由截距式得

＝1  即3

＋４y－12＝0这是直线BC的方程；

由截距式得

＝1  即3

＋４y＋12＝0这是直线AD的方程；

由截距式得

＝1即3

－４y－12＝0，这是直线CD的方程。

16. 答：（1）当B≠0时，方程可化为斜截式：

∴斜率

。

当B＝0时，A≠0时，方程化为

与

轴垂直，所以斜率不存在。

（2）若方程表示通过原点的直线，则（0，0）符合直线方程，则C＝0。

所以C＝0时，方程表示通过原点的直线。