§8.1 直线的方程
考试要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( × )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × )
(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．( √ )
教材改编题
1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 由题意得直线AB的斜率k＝＝，
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，∵0°≤α<180°，
∴α＝60°.
2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
答案 D
解析 因为直线l的倾斜角为90°，
所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，
所以直线l的方程为x＝1.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，
解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
(2)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
由于α∈，所以≤cosα≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
跟踪训练1 (1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．
答案
解析 直线可化为y＝－x－.
∵m2≥0，∴m2＋1≥1，
则0<≤1，
∴－1≤－<0.
则所求倾斜角的最小值是.
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
答案 －3
解析 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，
kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.
解 (1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2,1)，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(3) 当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
∴原点到直线的距离d＝＝5，
解得k＝，
∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为( )
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
答案 A
解析 设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，
因为A(5，－2)，B(7，3)，
所以且
解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，
即C(－5，－3)，M，N(1,0)，
所以MN所在直线的方程为＝，
即5x－2y－5＝0.
(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
答案 C
解析 方法一 因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
方法二 设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l：＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 方法一 由本例方法一知A，
B(0,1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
当且仅当－k＝－，
即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||
＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，－4) [3，＋∞)
解析 直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，
令解得
∴直线l过定点(1，－4)，
∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，
又直线l不经过第三象限，
∴解得a≥3.
(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．
答案 x＋y－2＝0
解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，且＋＝1，则a＋b＝ab，
所以|MA|2＋|MB|2
＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2
＝4＋a2＋b2－2(a＋b)
＝4＋a2＋b2－2ab
＝4＋(a－b)2≥4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
课时精练
1．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．90° D．180°
答案 A
解析 由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，
则k＝tan α＝＝1，故倾斜角α＝45°.
2．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k的值为( )
A.或0 B．－或0
C. D．－
答案 A
解析 直线l1：x＋y＝0的斜率为k1＝－，
所以直线l1的倾斜角为120°.
要使直线l1与直线l2的夹角是60°，
只需直线l2的倾斜角为0°或60°，
所以k的值为0或.
3．(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，
可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，
即k＝－.
4．若直线l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由y＝－x－，ab>0，ac<0，
知直线l的斜率k＝－<0，在y轴上的截距－>0，
所以此直线必不经过第三象限．
5．直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cos α等于( )
A．－ B.
C. D.
答案 C
解析 设l的倾斜角为θ，则tan θ＝，∴θ＝60°，
由题意知α＝θ－45°＝60°－45°，
∴cosα＝cos(60°－45°)＝cos60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
答案 A
解析 易知A(－1,0)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5,0)．
∵PA，PB关于直线x＝2对称，
∴kPB＝－1.∴lPB：y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0.
7．(多选)下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)
C．过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3
答案 ABC
解析 A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．
8．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案
解析 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
10．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________________________________．
答案 3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0
解析 因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±，又因为直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.
11．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2, 则直线l经过定点________，若直线l 与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
答案 (0，－2) [1,3]
解析 由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，kCA＝＝3，kCB＝＝1，
要使直线l 与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．
12．过点P(－1,0)且与直线l1：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是______________．
答案 x＋1＝0或x－y＋1＝0
解析 直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tanβ＝，
则β＝，
因为所求直线与直线l1的夹角为，
所以所求直线的倾斜角为或，
当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；
当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝(x＋1)，
故直线为x－y＋1＝0.
综上，所求直线为x＋1＝0或x－y＋1＝0.
13．(多选)下列说法正确的是( )
A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1
B．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B且AB的中点为(4,1)，则直线l的方程为＋＝1
C．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1
答案 BCD
解析 A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)，则直线l的方程为＋＝1，故B对；C中，直线过原点时方程为y＝x，不过原点时方程为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D对．
14．(2023·天津模拟)若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，则l斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．
答案 (－∞，1] ∪
解析 因为直线l经过A(2,1)，B(1, m2)两点，
所以l斜率k＝＝1－m2≤1，
所以l斜率的取值范围为(－∞，1]，
设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan α≤1，
所以其倾斜角的取值范围为∪.
15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．3 C．3 D．6
答案 D
解析 由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为≥2，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．
16．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.
