【本讲教育信息】
一. 教学内容：
抛物线与圆锥曲线的统一定义
二、本周教学目标：
1、掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程。
2、掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线方程解决简单的应用问题。
3、了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
4、了解曲线方程的概念，能根据曲线方程的概念解决一些简单的问题。
三、本周知识要点：
（一）抛物线
1、抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
定点F叫做抛物线的焦点，定直线
叫做抛物线的准线
图形
方程
焦点
准线
相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
，即
不同点：（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为
、左端为
；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为
，左端为
（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号
2、抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程
可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程
不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程
中，当y=0时，x=0，因此抛物线
的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
（二）圆锥曲线的统一定义
1、椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线
的距离的比是一个
内的常数
，那么这个点的轨迹叫做椭圆
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数
就是离心率
椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
对于
，左准线
；右准线
对于
，下准线
；上准线
2、双曲线的第二定义：一动点到定点F的距离与到一条定直线
的距离之比是一个
内的常数
，那么这个点的轨迹叫做双曲线
其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线
常数e是双曲线的离心率
准线方程：
对于
来说，相对于左焦点
对应着左准线
，相对于右焦点
对应着右准线
；
对于
来说，相对于上焦点
对应着上准线
；相对于下焦点
对应着下准线
三、曲线与方程
1、曲线方程
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标都是这个方程
的解且
的解
为坐标的点都是曲线上的点，那么，方程
叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程
的曲线
2、求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程
；
（4）化方程
为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
求简单的曲线方程的一般步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明
另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程．
【典型例题】
例1. （1）已知抛物线标准方程是
，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程
分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。
解析：（1）p＝3，焦点坐标是（
，0）准线方程是x＝－
．
（2）焦点在y轴负半轴上，
＝2，
所以所求抛物线的标准方程是
．
例2. 已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值．
解：（1）p＝6，焦点坐标是（3，0），准线方程是x＝－3．
（2）先化为标准方程
，
，焦点坐标是（0，
），
准线方程是y＝－
.
例3. 求下列椭圆的准线方程：（1）
（2）
解：（1）方程
可化为
，是焦点在
轴上且
，
的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
（2）方程
是焦点在
轴上且
，
的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
例4. 椭圆
上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离
解：椭圆
的离心率为
，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为
再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12
例5. 设A、B两点的坐标是（1，0）、（-1，0），若
，求动点M的轨迹方程．
解：设M的坐标为
，M属于集合P=｛Ｍ｜
｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为
，
整理后得
（
≠±1）
下面证明
（x≠±1）是点M的轨迹方程
（1）由求方程的过程可知，M的坐标都是方程
（x≠±1）的解；
（2）设点
的坐标
是方程
（x≠±1）的解，即
，
∴
由上述证明可知，方程
（x≠±1）是点M的轨迹方程
说明：所求的方程
后面应加上条件ｘ≠±１。
例6. 已知一条曲线在
轴的上方，它上面的每一个点到A（0，2）的距离减去它到
轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程
分析：这条曲线是到A点的距离与其到
轴的距离的差是2的点的集合或轨迹的一部分。
解：设点
是曲线上任意一点，MB⊥
轴，垂足是B，那么点M属于集合P={M｜｜MA｜-｜MB｜=2}．
即
=2．
整理得
， ∴
．
因为曲线在
轴的上方，所以y＞0，虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是：
（
≠0）．
它的图形是关于
轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点．
例7. 点P（x，y）与定点F2（c，0）的距离与到
的距离之比为常数
，求P的轨迹方程
解：设d是点P到直线
的距离．根据题意得
化简，得
（
）
这是双曲线的标准方程
【模拟试题】
1. 双曲线16x2―9y2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（ ）
（A）4， 3，
（B）8， 6，
（C）8， 6，
（D）4， 3，
2. 顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，e=
的双曲线的标准方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 双曲线
的两条准线间的距离等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 线
（m≠0）的焦点坐标是（ ）
（A）（0，
）或（0，
） （B）（0，
）
（C）（0，
）或（0，
） （D）（0，
）
6. 在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（ ）
（A）y2＝16x或x2＝16y （B）y2＝16x或x2＝12y
（C）x2＝－12y或y2＝16x （D）x2＝16y或y2＝－12x
7. 已知点A（-3，0），B（0，
），C（4，-
），D（3secθ，
tanθ），其中在曲线
上的点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8. 求下列椭圆的焦点坐标与准线方程
（1）
（2）
9. 根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F（－2，0）
（2）准线方程是
．
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上
（4）经过点A（6，－2）．
10. 求点P到点F（4，0）的距离比它到直线
+5=0的距离小1的点的轨迹方程．
11. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
，求它的标准方程．
【试题答案】
1、C 2、A 3、A 4、D 5、B 6、C 7、B
8、答案：（1）焦点坐标
；准线方程
（2）焦点坐标
；准线方程
9、（1）y2＝－8x （2）x2＝－
y （3）x2＝8y或x2＝－8y
（4）
或
10、解：设P
为所求轨迹上任意一点，
∵点P到F的距离比它到直线
+5=0的距离小1.
故点P到F（4，0）的距离与点P到直线
+4=0的距离｜PD｜相等
∴｜PF｜=｜PD｜
∴
=｜
-（-4）｜
∴
11、解：由题意，可设抛物线方程为
，因为它过点
，
所以
，即
因此，所求的抛物线方程为
．
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