函数的极值、最值及应用
二、本周教学目标：
1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；
3、会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
三、本周知识要点：
1、极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点．
2、极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点．
3、极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
4、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．
5、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）．
（2）求方程f′（x）=0的根．
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值
6、函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．（1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
7、利用导数求函数的最值步骤：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值．
（1）求（x）．
（2）确定（x）在（a，b）内符号．
（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数．
（1）求（x）
（2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
【典型例题】
例1、求函数的极值：
解：
令，得驻点
|
| -1 |
| 1 |
|
| - | 0 | + | 0 | - |
| ↘ | 极小 | ↗ | 极大 | ↘ |
当时，极小=-3；当时，极大=-1值．
例2、设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间．
剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b．
解：（x）=3x2－6ax+2b，由题意知
即
解之得a=，b=－
此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）
当（x）>0时，x>1或x<－，
当（x）<0时，－<x<1
∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1）
点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点．
例3、设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值
解：
令
（1），由表
x | （－∞，2） | 2 |
|
|
|
f′（x） | + | 0 | － | 0 | + |
f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
取极小值
（2）无极值
（3）时，由表
x | （－∞，－ |
|
| 2 |
|
f′（x） | + | 0 | － | 0 | + |
f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
例4、设函数f（x）=－ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间上是单调函数
分析：要使f（x）在上是单调函数，只需f′（x）在上恒正或恒负即可
解：f′（x）=－a．
当x＞0时，
因为a＞0，所以当且仅当a≥1时，f′（x）= －a在上恒小于0，此时f（x）是单调递减函数
点评：要使f（x）在（a，b）上单调，只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f′（x）＞0（或＜0＝单调递增（或减）．
例5、用总长148m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积．
解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+05）m，高为
=32－2x（m）
设容积为y m3，则y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16＝
整理，得y=－2x3+22x2+16x．
所以y′=－6x2+44x+16．
令y′=0，即－6x2+44x+16=0，
所以15x2－11x－4=0．
解得x=1或x=－（不合题意，舍去）．
从而在定义域（0，16）内只有x=1处使得y′=0．
由题意，若x过小（接近0）或过大（接近16）时，y值很小（接近0）．
因此，当x=1时，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，
此时，高为32－2×1=1.2（m）
答：容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积为1.8m3．
【模拟试题】
1、某物体做s=2（1－t）2的直线运动，则t=08 s时的瞬时速度为（ ）
A、4 B、－4 C、－48 D、－08
2、函数f（x）=x3－6bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
3、函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（ ）
4、若曲线f（x）=x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为（ ）
A、（1，3） B、（－1，3） C、（1，0） D、（－1，0）
5、已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是__________．
6、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为___________。
7、已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）=______．
8、已知二次函数y=f（x）经过点（0，10），导函数=2x－5，当x∈（n，n+1）（n∈N*）时，f（x）是整数的个数，记为an求数列{an}的通项公式．
9、设函数f（x）=x3－ax2+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间．
【试题答案】
1、解析：s′=－4（1－t），∴当t=0.8s时，v=－08．
答案：D
∵f（x）在（0，1）内有极小值，∴0＜b＜1．∴0＜b＜．
答案：C
3、解析：f′（x）=axlna+logae．
∵x∈［0，1］，
∴当a＞1时，axlna+logae＞0，∴f（x）为增函数．
当0＜a＜1时，axlna+logae＜0，∴f（x）为减函数．
∴f（0）+f（1）=a ∴a=．
答案：B
答案：C
5、解析：y′=x2，当x=2时，y′=4．∴切线的斜率为4．
∴切线的方程为y－4=4（x－2），即y=4x－4．
答案：4x－y－4=0
6、解析：设底面边长为x，则高为h=，
∴S表=3×·x+2×x2=+x2．
∴S′=－+x令S′=0，得x=
答案：
7、解析：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得
∴∴或
∴f（2）=11或f（2）=18．
答案：11或18
8、解：由=2x－5可设f（x）=x2－5x+c（c为常数）．
因为f（x）的图象过（0，10），得c=10．
故二次函数为f（x）=x2－5x+10=（x－）2+．
又因x∈（n，n－1）（n∈N*）时，f（x）为整数的个数为an．
f（x）在（1，2）上的值域为［4，6］，∴a1=2．
f（x）在（2，3）上的值域为［，4］，∴a2=1．
当n≥3时，f（x）在上单调递增，其值域为
∴an=f（n+1）－f（n）=2n－4．
∴an=
9、解：（1）（x）=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=（a－6）（a+6）．
1°0<a<6时，
Δ<0，（x）>0对x∈R恒成立．
∴当0<a<6时，（x）在R上单调递增．
2°a=6时，y=x3－3x2+3x+5=（x－1）3+4
∴在R上单调递增．
3°a>6时，Δ>0，由（x）>0x>或x<．
（x）<0<x<．
∴在（，+∞）和（－∞，）内单调递增，在（，）内单调递减．
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