专题复习-不等式

 

【高考要求】掌握基本不等式与一元二次不等式。了解线性规划

 

二. 学法指导：

1、对于解含有参数的不等式，常常需要分类讨论，分类的原则是不重复、不遗漏，最后结果要按参数的不同范围分别表达。（注意：此时不能取并集，这与对变量x的分段讨论不同。）

2、不等式的应用

    不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式，求不等式中参数的取值范围；另一类是建立函数关系式，利用平均值不等式求解实际问题中的最大（小）值。

    运用平均值不等式求最值：（a＞0，b＞0）

   

成立。

   

时“＝”成立。

注意满足条件“一正，二定，三等”。

3、不等式的证明有以下常用方法

    1）比较法：

（1）作差法：欲证

即“作差→变形（因式分解或通分）→判定符号→结论”

    （2）作商法 ：欲证

    即“作商→变形→与1比大小→结论”

    2）分析法：

    从待证的不等式出发，寻求不等式成立的充分条件的方法叫分析法，即“执果索因”。

   

    3）综合法：

    由已知条件和所学过的定义、定理、公理不断推导出所证命题成立的必要条件（由因导果），直至推导出命题的结论的方法叫综合法。

      

    在证明过程中，常用的不等式：

   

   

             

   

             

   

             

   

             

       综合法与分析法是对立统一的两个方面，综合过程通常是分析过程的逆过程，所以常用分析法寻找思路，用综合法表述过程。

4、不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

5、根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

 

【典型例题】

例1. 设不等式x²－2ax+a+2≤0的解集为M，如果

，求实数

的取值范围. 

点拨：本题实质上是二次方程在给定区间上的根的分布问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在.

解：M

［1，4］有两种情况:其一是M=

，此时Δ＜0；其二是M≠

，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.

设f（x）=x² －2ax+a+2，有Δ=（－2a）²－（4a+2）=4（a²－a－2）

（1）当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=

［1，4］

（2）当Δ=0时，a=－1或2.

当a=－1时M={－1}

［1，4］；当a=2时，m={2}

［1，4］.

（3）当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.

设方程f（x）=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么M=［x₁，x₂］，M

［1，4］

1≤x₁＜x₂≤4

即

，解得

  2＜a＜

，∴M

［1，4］时，

的取值范围是（－1，

）。 

点评：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系，集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想

M=

是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错，数形结合的思想使题目更加明朗.

例2. 已知集合

，函数

的定义域为

。

（Ⅰ）若

，求实数

的取值范围；

（Ⅱ）若方程

在

内有解，求实数

的取值范围；

（Ⅲ）若不等式

在

内恒成立，求实数

的取值范围。

解：（Ⅰ）

=

因为

，所以在

内至少有一个

值，使不等式

成立，

即

在

内有解。因为

，所以

（*）

设

，

，欲使（*）式成立，只须

因为

，在

上的最小值

所以

（Ⅱ）方程

在

内有解，等价于方程

在

内有解，分离

得：

（*）’

设

，则在

内存在

值，使得（*）’式成立，

即

因为当

时，

，所以

（Ⅲ）不等式

在

内恒成立，等价于

在

内恒成立

分离

得：

在

内恒成立，只需

因为

在

内的最大值为12，所以

。

小结：

“在给定区间内不等式有解”与“在该区间内不等式恒成立”是容易混淆的两个不同的概念。一般地，二者均可采用数形结合，利用相应的方程的根的分布情况，通过讨论加以解决，但解法很繁杂。如果能用分离变量的方法，转化为函数的值域、最值问题来求解，简单明了，同时也更容易区分两类问题的不同。

  即：在

内，

有解，只须

；

在

内，

恒成立，只须

；

在

内，方程

有解，只须

。

 

例3. 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周

图②的过水断面为等腰梯形

∥

，过水湿周

.若

与梯形ABCD的面积都为S，

（I）分别求

的最小值；

（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.

解:（Ⅰ）在图①中，设

，

.

则

. 由于

、

、

皆为正值，可解得

.

当且仅当

，即

时取等号. 所以

. 

在图②中，设

，

.

可求得

，

，解得

.

.

当且仅当

，即

时取等号. 

（Ⅱ）由于

，则

的最小值小于

的最小值.

所以在方案②中当

取得最小值时的设计为最佳方案.

 

例4. 求函数

的最小值；

错解1 

错解2

错误分析  在解法1中，

的充要条件是

即

这是自相矛盾的。

在解法2中，

的充要条件是

这是不可能的。

正确解法1

 

其中，当

正 确 解 法2 取正常数

，易得

其中“

”取“＝”的充要条件是

因此，当

 

例5. 若a＞0，b＞0，a³+b³=2。求证a+b≤2，ab≤1。

分析：由条件a³+b³=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等方法，架起沟通二者的“桥梁”。

证法一  （作差比较法）

因为a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以（a＋b）³－2³=a³+b³+3a²b+3ab²－8=3a²b+3ab²－6

=3[ab（a+b）－2]=3[ab（a+b）－（a³+b³）]=－3（a+b）（a－b）²≤0，

即 （a+b）³≤23。

证法二  （平均值不等式—综合法）

因为a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1。

说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮。

证法三  （构造方程）

设a，b为方程x²－mx+n=0的两根。则

因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且     Δ=m²－4n≥0。①

因此2=a³+b³=（a+b）（a²－ab+b2）=（a+b）[（a+b）²－3ab]=m[m²－3n]，所以

所以a+b≤2。

由2≥m得4≥m²，又m²≥4n，所以4≥4n，即n≤1。所以 ab≤1。

说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点。

证法四  （恰当的配凑）

因为a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以

2=a³+b³=（a+b）（a²+b²－ab）≥（a+b）（2ab－ab）=ab（a+b），

于是有6≥3ab（a+b），从而

8≥3ab（a+b）+2=3a²b+3ab²+a³+b³=（a+b）³，

所以a+b≤2。（以下略）

证法五 

即a+b≤2。（以下略）

证法六  （反证法）

假设a+b＞2，则

a³+b³=（a+b）（a²－ab+b²）=（a+b）[（a+b）²－3ab]＞2（2²－3ab）。

因为a³+b³=2，所以2＞2（4－3ab），因此ab＞1。        ①

另一方面，2=a³+b³=（a+b）（a²+b²－ab）≥（a+b）（2ab－ab）=（a+b）·ab＞2ab，

所以ab＜1。                 ②

于是①与②矛盾，故a+b≤2。（以下略）

说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法。

 

例6. 已知函数

，点

、

是该函数图象上的两点，且满足

，

；

    （1）求证：

；

    （2）问是否能够保证

和

中至少有一个为正数？请证明你的结论。

解：证明：（1）依题意，有

，则

或

，

    则方程

有实根，即方程

有实根，

   

，

    又

且

，则

、

、

，

    则

，

    由于

，则

；

（2）依题意，

，即1是方程

的一个根，则另一个根为

， 且

，则有

，不妨设

，

  即：

，∴

，∴

  

  又由

及

得

，

  ∴

，

  而函数

在

上为增函数，∴

，

  同理，若

，则有

，命题得证。

 

例7. 已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5。

证明：设二次三项式为：f（x）=a（x－x

）（x－x

），a∈N。

依题意知：0＜x

＜1，0＜x

＜1，且x

≠x

。于是有f（0）＞0，f（1）＞0。

又f（x）=ax

－a（x

+x

）x+ax

x

为整系数二次三项式，

所以f（0）=ax

x

、f（1）=a·（1－x

）（1－x

）为正整数。故f（0）≥1，f（1）≥1。

从而   f（0）·f（1）≥1。         ①

另一方面，

_②

且由x

≠x

知等号不同时成立，所以

由①、②得，a

＞16。又a∈N，所以a≥5。

说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活。根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键。

 

例8. （与导数的综合）

已知函数

（b、c为常数）,

（Ⅰ） 若

在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；

（Ⅱ）若

在

上单调递增且在

上单调递减,又满足

，求证：

；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，若

，试比较

与

的大小，并加以证明.

解： （Ⅰ）解：

，

由题意得:1和3是方程

的两根，

解得

（Ⅱ）证明：由题得:当

时，

；

时,

.

是方程

的两根，则

      

,

.

（Ⅲ）证明：在（Ⅱ）的条件下,由上一问知

即

所以

例9.

      

      

      

       证明：

      

      

      

       （2）方法1：必要性

      

      

 

      

 

      

 

       充分性：      

      

      

      

      

      

      

  

      

       方法2：

      

      

      

      

 

      

      

      

      

       （3）解法1：∵

，

时，对任意

      

      

      

      

      

      

      

       解法2：如图      

<1>若

，则

在

上为增函数，只要

      

      

       <2>若

，即

      

      

      

       综合<1><2>：当

，对任意

，

r的充要条件是

       点评：本题主要考查二次函数、不等式、充要条件的综合应用，考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力。

 

例10. （数列与不等式）。已知数列

满足

，并且

（

为非零参数，

）.

（I）若

成等比数列，求参数

的值；

（II）当

时，证明

；

（III）当

时，证明

.

（I）解：由已知

，且

若

、

、

成等比数列，则

，即

。 而

， 解得

。

（II）证明：由已知

及

，可得

由不等式的性质，有

另一方面，

因此，

故

。

（III）证明：当

时，由（II）可知

。

又由（II）

则      

从而

因此

 

 

【模拟试题】

1. 设，且，则x+y的最小值为_____.

2. 函数y=log_a（x+3）-1（a>0,a

1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则的最小值为       .

3. 设实数x, y满足

，则x+y的取值范围是___           __.

4. 若函数

（

且

）的值域为R，则实数a的取值范围是

         

5. 设

分别为双曲线

（

，

0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若

的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是            .

6. 已知a, b, c, d ∈R，

，a+b+c=dx，则x的取值范围是              .

7. 已知集合

与

若

，则

的范围               .

8. 已知

且

，

，则

的取值范围为          . 

9. 如图，目标函数u=ax－y的可行域为四边形OACB（含边界）.若点

是该目标函数的最优解，则a的取值范围是              

10. 若不等式组

表示的平面区域是一个三角形，则

的取值范围是      

11. 在△ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且.

⑴求的值；

⑵若a =2，求△ABC的面积S的最大值.

12. 解关于

的不等式

.

13. 如图，直线y=kx+b与椭圆

交于A,B两点，记△AOB的面积为S. 

（I）求在k=0，0<b<1的条件下，S的最大值；

（II）当AB=2，S=1时，求直线AB的方程.

14. 设函数f（x）=ax²+bx+c的图象与两直线y=x，y=－x，均不相交，试证明对一切x

，都有| ax²+bx+c|>

。

15. 已知二次函数

（

R，

0）.

（1）当０＜

＜

时，

（

Ｒ）的最大值为

，求

的最小值.

（2）如果

[0，1]时，总有|

|

. 试求

的取值范围.

16. 已知分别以

和

为公差的等差数列

和

满足

，

。

⑴若

，且存在正整数m，使得

，求证：

；

⑵若

，且数列

，

，…，

，

，

，…，

的前n项和

满足

，求数列

和

的通项公式；

⑶在⑵的条件下，令

，a>0且a≠1，问不等式

是否对一切正整数n恒成立？请说明理由

 

 

【试题答案】

1. 答案16

解：.

2. 答案：8

解： 函数恒过点A（-2,-1），所以2m+n=1，故.

3. 答案：（-∞,-1）∪[1, +∞]

解：

即

，所以

或

。

4. 答案：

解：令

，则

须取遍所有的正实数，即

，而

.

5. 答案：

解：

，当且仅当

，即

时上式取等号，这时

，由

，得

，故

.

6. 答案：

。

解：原问题可转化为“已知

，求，

令则

,，求的范围.

由

，知x≤

.

又由

，知

，

，

，故

，

，

，所以

，

，

故

.

7. 答案：

【解析】 易得

设

（*）

（1）若

，则显然

，由

得

，解得

.

（2）若

，则抛物线（*）的图象必须具有如下特征：

应有

，从而

解得

.  综上所述得

的取值范围为

.

8. 答案：

解：因为

，

，所以

，求

的最值. 如

图，因为

，

，

，

. 所以

.

9. 答案： 

10. 答案. 

11. 解析：⑴= +cos2A

= .                           

⑵  由

，

∵

，由余弦定理得：

，∴,

∴

,     

当且仅当b=c时，取得最大值，所以当b= c时，△ABC的面积S的最大值为3.

12. 解：1° 当

时，原不等式化为

，其解集为

；

2°当

时，由于

，原不等式化为

，解集为

3°当

时，由于

，原不等式化为

，解集为

或

4°当

时，原不等式化为

，解集为

；

5°当

时，由于_{360docimg_501_}，原不等式化为_{360docimg_502_}，

其解集为_{360docimg_503_}或_{360docimg_504_}.

综上所述，原不等式的解集为：

1° 当_{360docimg_505_}时，其解集为_{360docimg_506_}；  2°当_{360docimg_507_}时，解集为_{360docimg_508_}

3°当_{360docimg_509_}时，解集为_{360docimg_510_}或_{360docimg_511_}；  4°当_{360docimg_512_}时，解集为_{360docimg_513_}；

5°当_{360docimg_514_}时，其解集为_{360docimg_515_}.

13. 解：（Ⅰ）设点A的坐标为_{360docimg_516_}，点B的坐标为_{360docimg_517_}，

由_{360docimg_518_}，解得_{360docimg_519_}所以

_{360docimg_520_}，当且仅当时，S取到最大值1.

（Ⅱ）由_{360docimg_521_}得_{360docimg_522_}①,△=_{360docimg_523_}

_{360docimg_524_}②设O到AB的距离为d，

则又因为_{360docimg_525_}所以_{360docimg_526_}，代入②式并整理，得

_{360docimg_527_}解得_{360docimg_528_}，_{360docimg_529_}，代入①式检验，_{360docimg_530_}，

故直线AB的方程是 或 或 或.

14. 证明：由题意知，a≠0。设f（x）=a（x－x₀）²+f（x₀），则_{360docimg_531_}。

又二次方程ax²+bx+c=±x无实根，故

Δ₁=（b+1）²－4ac＜0，

Δ₂=（b－1）²－4ac＜0。

所以（b+1）²+（b－1）²－8ac＜0，即2b²+2－8ac＜0，即

b²－4ac＜－1，所以|b²－4ac|＞1。

故_{360docimg_532_}

由b²－4ac<－1<0可知当x∈R时，|f（x）|≥| f（x₀）|，所以| f（x）|>_{360docimg_533_}，即|ax²+bx+c|>_{360docimg_534_}成立。

说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径。

15. 解⑴由_{360docimg_535_}知_{360docimg_536_}，故当_{360docimg_537_}时，_{360docimg_538_}取得最大值为_{360docimg_539_}，即_{360docimg_540_}，所以_{360docimg_541_}的最小值为_{360docimg_542_}；

⑵由_{360docimg_543_}得_{360docimg_544_360docimg_545_}对于任意_{360docimg_546_}恒成立，

当_{360docimg_547_}时，_{360docimg_548_}使_{360docimg_549_}成立；

 

①

 

②

 

当_{360docimg_550_}时，有_{360docimg_551_}       对于任意的_{360docimg_552_}恒成立

_{360docimg_553_}，则_{360docimg_554_},故要使①式成立，则有_{360docimg_555_}，又_{360docimg_556_}；又_{360docimg_557_}，则有_{360docimg_558_}，综上所述：_{360docimg_559_}. 

16. 解：⑴由已知得_{360docimg_560_360docimg_561_360docimg_562_}。.

⑵由已知得：_{360docimg_563_}即_{360docimg_564_}①又_{360docimg_565_}②，将②代入①得 可得：k=10或_{360docimg_566_}（舍），

所以_{360docimg_567_}，故_{360docimg_568_}，_{360docimg_569_}.

⑶不等式_{360docimg_570_}等价于_{360docimg_571_}，由⑵得：_{360docimg_572_}   即_{360docimg_573_},

当_{360docimg_574_}时，当_{360docimg_575_}时，_{360docimg_576_}，所以_{360docimg_577_360docimg_578_}当_{360docimg_579_}时，_{360docimg_580_}，所以_{360docimg_581_360docimg_582_}同理可证，当_{360docimg_583_}时，不等式也成立，所以不等式_{360docimg_584_}对一切正整数n恒成立.