高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质．
重点：椭圆的方程与几何性质．
难点：椭圆的方程与几何性质．
二、知识点：
1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
定 义
第一定义：平面内与两个定点
的距离之和等于常数（大于
）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
第二定义：
平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e．（0<e<1）
标
准
方
程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图 形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
性 质
焦点在x轴上
范 围：
，
对称性：
轴、
轴、原点．
顶点：
，
．
离心率：e
概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：
范围：
2、椭圆中a，b，c，e的关系是：
．已知其中两个，便可求得另外两个．
3、与焦点有关的问题，要充分利用两个定义；椭圆上的点P（x0，y0）到左、右焦点的距离分别为：
4、焦点三角形应注意以下关系：
（1）定义：r1＋r2=2a
（2）余弦定理：
＋
－2r1r2cos
=（2c）2
（3）面积：
=
r1r2 sin
=
·2c| y0 |（其中P（
）为椭圆上一点，|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=
）
三、基础训练：
1、椭圆
的标准方程为
，焦点坐标是
，长轴长为___2____，短轴长为
，焦距是
，离心率为
，准线方程为
．
2、椭圆
的焦距是2，则
的值是__3或5__；
3、两个焦点的坐标分别为
，且经过
的椭圆的标准方程是__
___；
4、已知椭圆
上一点P到椭圆一个焦点
的距离是7，则点P到另一个焦点
的距离是__3___
5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，
，则椭圆的离心率为
6、方程
=10，化简的结果是
；
满足方程
的点的轨迹为
7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为
8、直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆
恒有公共点，则m的取值范围为_[4，5）_
9、在平面直角坐标系
中，已知
顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
10、已知点F是椭圆
的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则
的最大值是 8 ．
【典型例题】
例1、（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程．
解：设方程为
，则
．
所求方程为
（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程．
解：设方程为
，则
．
所求方程为
（3）已知三点P，（5，2），F1 （-6，0），F2 （6，0）．设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为
，求以
为焦点且过点
的椭圆方程 ．
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为
（a>b>0），其半焦距c=6
∴
，b2=a2-c2=9．
所以所求椭圆的标准方程为
（4）求经过点M（
， －2）， N（－2
， 1）的椭圆的标准方程．
解：设方程为
，则
例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）
为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且
、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 （精确到1km）．
解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、
在
轴上，
则
=|OA|－|O
|=|
A|=6371＋439=6810
=|OB|＋|O
|=|
B|=6371＋2384=8755
解得
=7782.5，
=972.5
．
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
，动圆M和已知圆内切且过点P（-3，0），求圆心M的轨迹及其方程
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值
根据图形，用数学符号表示此结论：
上式可以变形为
，又因为
，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆
解：知圆可化为：
圆心Q（3，0），
，所以P在定圆内
设动圆圆心为
，则
为半径
又圆M和圆Q内切，所以
，
即
，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以
，
，故动圆圆心M的轨迹方程是：
例4、已知椭圆的焦点是
，Ｐ为椭圆上一点，且｜
｜是｜
｜和｜
｜的等差中项．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在第三象限，且∠
=120°，求
．
选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题．
解：（1）由题设｜
｜＋｜
｜=2｜
｜=4
∴
， 2c=2， ∴ｂ=
∴椭圆的方程为
．
（2）设∠
，则∠
=60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
整理得：
故
．
说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答
例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向
轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为
，求点M的轨迹）
解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点
的坐标为
，则
的坐标为
因为点
在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有
，即
所以点
的轨迹是椭圆，方程是
（2）当M分 PPˊ之比为
时，设动点
的坐标为
，则
的坐标为
因为点
在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有
，
即
所以点
的轨迹是椭圆，方程是
例6、设向量
=（1， 0），
=（0， 1），
=（x＋m）
＋y
，
=（x－m）
＋y
，且|
|＋|
|=6，0< m < 3，x>0，y∈R．
（I）求动点P（x，y）的轨迹方程；
（II）已知点A（－1， 0），设直线y=
（x－2）与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得
=
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：（I）∵
=（1， 0），
=（0， 1）， |
|＋|
|=6
∴
=6
上式即为点P（x， y）到点（－m， 0）与到点（m， 0）距离之和为6．记F1（－m， 0），F2（m， 0）（0<m<0），则|F1F2|=2m＜6．
∴ |PF1|＋|PF2|=6＞|F1F2|
又∵x＞0，∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分．
∵ 2a=6，∴a=3
又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2
∴ 所求轨迹方程为
（x＞0，0＜m＜3）
（ II ）设B（x1， y1），C（x2， y2），
∴
=（x1＋1，y1）
=（x2＋1，y2）
∴
·
=x1x2＋（x1＋x2）＋1＋y1y2
而y1y2=
（x1－2）·
（x2－2）
=
[x1x2－2（x1＋x2）＋4]
∴
·
=
x1x2＋（x1＋x2）＋1＋
[x1x2－2（x1＋x2）＋4]
=
[10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]
若存在实数m，使得
·
=
成立
则由
·
=
[10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=
可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①
再由
消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②
因为直线与点P的轨迹有两个交点．
所以
由①、④、⑤解得m2=
＜9，且此时△＞0
但由⑤，有9m2－77=
＜0与假设矛盾
∴ 不存在符合题意的实数m，使得
·
=
例7、已知C1：
，抛物线C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）若p=
，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．
解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，
）或（1，－
）．
∵点A在抛物线上，∴
此时C2的焦点坐标为（
，0），该焦点不在直线AB上．
（Ⅱ）当C2的焦点在AB上时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x－1）．
由
（kx－k－m）2=
①
因为C2的焦点F′（
，m）在y=k（x－1）上．
所以k2x2－
（k2＋2）x＋
=0 ②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=
由
（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1＋x2=
从而
=
k2=6即k=±
又m=－
∴m=
或m=－
当m=
时，直线AB的方程为y=－
（x－1）；
当m=－
时，直线AB的方程为y=
（x－1）．
例8、已知椭圆C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设
=
．
（Ⅰ）证明：
=1－e2；
（Ⅱ）若
=
，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定
的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
解：（Ⅰ）因为A、B分别为直线l：y=ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A（－
，0），B（0，a）．
由
得
这里
∴M
由
得：
=
（
，a）
即
解得
（Ⅱ）当
时，
∴a=2c
由△MF1F2的周长为6，得2a＋2c=6
∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3
故所求椭圆C的方程为
（Ⅲ）∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即
|PF1|=C．
设点F1到l的距离为d，由
|PF1|=
=
=C
得：
=e ∴e2=
于是
即当
时，△PF1F2为等腰三角形．
（注：也可设P（x0，y0），解出x0，y0求之）
【模拟试题】
一、选择题
1、动点M到定点
和
的距离的和为8，则动点M的轨迹为 （ ）
A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线
2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
A、
B、
C、2－
D、
－1
3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是椭圆C：
的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为（ ）
A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定
4、椭圆
的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A、32 B、16 C、8 D、4
5、已知点P在椭圆（x－2）2＋2y2=1上，则
的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、我们把离心率等于黄金比
的椭圆称为“优美椭圆”，设
是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则
等于（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题
7、椭圆
的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．
8、设F是椭圆
的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，
），使得|FP1|、|FP2|、|FP3|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 ．
9、设
，
是椭圆
的两个焦点，P是椭圆上一点，且
，则得
．
10、若椭圆
=1的准线平行于x轴则m的取值范围是
三、解答题
11、根据下列条件求椭圆的标准方程
（1）和椭圆
共准线，且离心率为
．
（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
和
，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．
12、已知
轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆
上的动点，求AQ中点M的轨迹方程
13、椭圆
的焦点为
，点P为其上的动点，当∠
为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
14、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
=（3， －1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M是椭圆上任意一点，且
=
（
、
∈R），证明
为定值．
【试题答案】
1、B
2、D
3、A
4、B
5、D（法一：设
，则y=kx代入椭圆方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得：
．法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）
6、C
7、（
），
；（0，
）；6；10；8；
；
．
8、
∪
9、
10、m＜
且m≠0．
11、（1）设椭圆方程
，则其准线为
．
解得
，
所求椭圆方程为
．
（2）
，
．
由
，得
．
所求椭圆方程为
或
．
12、解：设中点
的坐标为
，则
的坐标为
因为点
为椭圆
上的动点
所以有
，即
所以中点
的轨迹方程是
13、解：设P点横坐标为x0，则
，
，
为钝角．当且仅当
，解之即得：
．
14、（1）解：设椭圆方程
，F（c，0），则直线AB的方程为y=x－c，代入
，化简得：
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=
，
x1x2=
由
=（x1＋x2，y1＋y2），
=（3， －1），
与
共线，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，
又y1=x1－c，y2=x2－c
∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=
即
=
，∴ a2=3b2
∴
，故离心率e=
．
（2）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆
可化为x2＋3y2=3b2
设
，由已知得
=
（x1，y1）＋
（x2，y2），∴
，
∵M
在椭圆上
∴ （
）2＋3（
）2=3b2
即：
2（
）＋
（
）＋2
（x1x2＋3 y1y2）=3b2 ①
由（1）知x1＋x2=
，a2=
2，b2=
c2．
x1x2=
=
2
x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）
=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2=
2－
2＋3c2=0
又
=3b2，
=3b2代入①得
=1． 故
为定值，定值为1．
