在学习函数时,若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”,再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑,还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式,是形象直观地研究函数性质的常用方法,是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析,然后利用对称性作出函数图象,并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类:
已知函数,叫做函数的自变量;叫做函数的应变量(函数值)。
①对自变量取绝对值:;②对应变量取绝对值:;
③对全都取绝对值:;④对整个函数取绝对值:;
⑤对都取绝对值:;⑥部分自变量取绝对值:。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法:
①对自变量取绝对值:
【特征分析:】
已知函数,设是函数图象上任意一点,则该点与点关于轴对称。因为点与都在函数上,所以其函数图象关于轴对称。
【作图步骤:】
(1)作出函数的图象;
(2)保留时函数的图象;
(3)当时,利用对称性作出(2)中图象关于轴对称后的图象。
【作图展示:】作函数的图象
②对应变量取绝对值:;
【特征分析:】
已知函数,设是函数图象上任意一点,则该点与点关于轴对称。因为点与都在函数上,所以其函数图象关于轴对称。
【作图步骤:】
(1)作出函数的图象;
(2)保留时函数的图象;
(3)当时,利用对称性作出(2)中图象关于轴对称后的图象。
【作图展示:】作函数的图象
③对全都取绝对值:;
【特征分析:】
已知函数,设是函数图象上任意一点,它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、与都在函数上,所以函数图象关于轴、轴及原点对称。
【作图步骤:】
(1)作出函数的图象;
(2)保留(第一象限)时函数的图象;
(3)利用对称性作出(2)中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。
【作图展示:】作函数的图象
④对整个函数取绝对值:;
【特征分析:】
已知函数,当时;当时。函数的图象在时不变,在时图象关于轴对称。
【作图步骤:】
(1)做出的图象;
(2)保留的函数图象(轴上方图象)不变;
(3)当时,利用对称性作出轴下方图象关于轴对称后的图象。
【作图展示:】作函数的图象
⑤对都取绝对值:
【特征分析:】
已知函数,由于该函数既对自变量取了绝对值,又对应变量取了绝对值,因此可看做是前两种情况的逐步复合,若令(偶函数),则。
【作图步骤:】
(1)利用的方法步骤作出函数的图象;
(2)利用的方法步骤作出函数的图象。
【作图展示:】作函数的图象
⑥部分自变量取绝对值:。
【特征分析:】已知函数,这种类型的函数没有统一的特点,必须先利用绝对值的意义去掉绝对值,然后再利用相应的方法作出函数的图象。