22、（山东理）（本小题满分12分）已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
(II)设
，由得
，
，.
以AB
为直径的圆过椭圆的右顶点，
，，
，
，解得
，且满足.
当
时，，直线过定点与已知矛盾；
当
时，，直线过定点
综上可知，直线
过定点，定点坐标为
23、（全国2理）设
分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ B
）
A．
B
． C
． D
．
【解答】设F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点。若双曲线上存在点A
，使∠F1AF2=90?
，且|AF1|=3|AF2|
，设|AF2|=1
，|AF1|=3
，双曲线中，，∴ 离心率，选B
。
24、（全国2理）设
为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【解答】设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若
=
0，则F
为△ABC
的重心，∴ A
、B
、C
三点的横坐标的和为F
点横坐标的3
倍，即等于3
，
∴ |FA|+|FB|+|FC|=
，选B
。
25、（全国2理）（本小题满分12分）在直角坐标系
中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆
的方程；
（2）圆
与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
【解答】（1）依题设，圆
的半径等于原点到直线的距离，
即
．
得圆
的方程为．
（2）不妨设
．由即得
．
设
，由成等比数列，得
，
即
．
由于点
在圆内，故
由此得
．
所以
的取值范围为．
26、（全国2文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B
． C
． D
．
【解答】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴
，椭圆的离心率，选D
。
27、（全国2文）设
分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）
A．
B
． C
． D
．
【解答】设
分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=
，选B
。
28、（全国1理）已知双曲线的离心率为
，焦点是，，则双曲线方程为（ ）
A．
B
． C
． D
．
【解答】已知双曲线的离心率为2，焦点是
，，则c=4
，a=2
，，双曲线方程为，选A
。
29、（全国1理）抛物线
的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（ ）
A．
B
． C
． D
．
【解答】抛物线
的焦点F(1
，0)
，准线为l：，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3
，2
)
，，垂足为K(
－1
，2
)
，∴ △AKF的面积是4
，选C
。
30、（全国1理）（本小题满分12分）已知椭圆
的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设
点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形
的面积的最小值．
【解答】（Ⅰ）证明：椭圆的半焦距
，
由
知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，
．
（Ⅱ）（ⅰ）当
的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设
，，则
，
；
因为
与相交于点，且的斜率为，
所以，
．
四边形
的面积
．
当
时，上式取等号．
（ⅱ）当
的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形
的面积的最小值为．
31、（海南、宁夏理）已知抛物线
的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（ C ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【分析】：由抛物线定义，
即：．
32、（海南、宁夏理）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．3
【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：
33、（海南、宁夏理）（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求
的取值范围；
（II）设椭圆与
轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）由已知条件，直线
的方程为，
代入椭圆方程得
．
整理得
①
直线
与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得
或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设
，则，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得
．
由（Ⅰ）知
或，故没有符合题意的常数．
34、（辽宁理）设
为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A．
B
． C
． D
．
【解答】因为
，设，根据双曲线定义得，所以，，为直角三角形，其面积为，选B
35、（辽宁理）设椭圆
上一点到左准线的距离为10
，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=
．
【解答】椭圆
左准线为，左焦点为（-3
，0
），P
（，由已知M
为PF
中点，M
（，所以
36、（辽宁理）（本小题满分14分）已知正三角形
的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆
的方程；
（II）设圆
的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
【解答】本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设
两点坐标分别为，，由题设知
．
解得
，
所以
，或，．
设圆心
的坐标为，则，所以圆的方程为
．················ 4
分
解法二：设
两点坐标分别为，，由题设知
．
又因为
，，可得．即
．
由
，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设
点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为．···· 4
分
（II）解：设
，则
．········ 8
分
在
中，，由圆的几何性质得
，，
所以
，由此可得
．
则
的最大值为，最小值为．
