1.抛物线y=4x2的准线方程为( D )
A.x=-1 B.y=-1
C.x=- D.y=-
2.正三角形一个顶点是抛物线x2=2py(p>0)的焦点,另两个顶点在抛物线上,则满足此条件的正三角形共有( C )
A.0个 B.1个
C.2个 D.4个
解析:由抛物线的对称性可知,另两个顶点一组在焦点的下方,一组在焦点的上方,共有两组,故选C.
3.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( C )
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
解析:分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为E,D,如图.
因为|BC|=2|BF|,由抛物线的定义可知|BF|=|BD|,∠BCD=30°.
又|AE|=|AF|=3,所以|AC|=6,
即F为AC的中点,所以p=|EA|=,
故抛物线的方程为y2=3x,故选C.
4.(2013·山东省临沂市3月一模)若抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程为y2=8x .
解析:由条件知-=-2,所以p=4,
故抛物线的方程为y2=8x.
5.(2012·皖南八校第二次联考)抛物线x2=ay过点A(1,),则点A到此抛物线的焦点的距离为.
解析:由已知可得1=a,所以a=4,所以x2=4y.
由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离:
yA+=+1=.
6.(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为y2=±8x .
解析:由题可知抛物线的焦点坐标为(,0),于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为y=2(x-),令x=0,可得A点坐标为(0,-),所以S△OAF=··=4,所以a=±8,故抛物线的方程为y2=±8x.
7.(2012·山西大学附中第二学期3月考)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则∠NMF=.
解析:过N作NQ⊥准线于Q,则|NQ|=|NF|.
因为|NF|=|MN|,
所以|NQ|=|MN|,
所以cos∠QNM==,所以∠QNM=,
所以∠NMF=∠QNM=.
8.(2012·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程.
解析:(1)由题意,可设抛物线C的标准方程为y2=2px,
因为点A(2,2)在抛物线C上,所以p=1,
所以抛物线C的标准方程为y2=2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标为(,0),
又直线OA的斜率为1,
所以与直线OA垂直的直线的斜率为-1.
所以过点F,且与直线OA垂直的直线的方程为y-0=-1(x-),即x+y-=0.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点C是抛物线上的动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4,求证:圆C过定点.
解析:(1)由抛物线的定义得+4=5,则p=2,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.
(2)证明:设圆心C的坐标为(,y0),半径为r.
因为圆C在y轴上截得的弦长为4,
所以r2=4+()2,
故圆C的方程为(x-)2+(y-y0)2=4+()2,
整理得(1-)y-2yy0+(x2+y2-4)=0,①
对于任意的y0∈R,方程①均成立.
故有,解得.
所以圆C过定点(2,0).
1.(2012·泉州四校二次联考)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( C )
A.2 B.2
C.4 D.4
解析:双曲线的方程2x2-y2=8可化为-=1,则a=2,故实轴长2a=4,故选C.
2.(2012·北京市西城区第一学期期末)若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(3,0),则实数k=( B )
A. B.
C. D.
解析:因为双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(3,0),故1+=9,所以k=,故选B.
3.(2013·四川省成都4月模拟)已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( C )
A. B.
C. D.5
解析:由|PA|-|PB|=3知P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线一支(以B为焦点的一支),因为2a=3,2c=4,所以a=,c=2,所以|PA|min=a+c=,故选C.
4.(2012·唐山市上期期统考)已知双曲线的渐近线为y=±x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( D )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:根据题意设双曲线方程为x2-=λ(λ>0),即-=1,
则a2=λ,b2=3λ,
所以c2=a2+b2=4λ=16?λ=4,
所以双曲线方程为-=1,故选D.
5.(2012·山东省青岛市3月质量检测)已知双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则它的离心率为2 .
解析:由题知=,则()2=3,故e==2.
6.(2012·广东省高州市第一次模拟)已知F1、F2是双曲线-=1的焦点,PQ是过焦点F1的弦,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值是16 .
解析:由双曲线方程得,2a=8.
由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=8,①
|QF2|-|QF1|=2a=8,②
①+②,得
|PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=16,
所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=16.
7.(2013·武昌区2月调研)双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为.
解析:双曲线右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),双曲线一条渐近线的斜率是,直线FB的方程是y=(x-5),与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为-,故△AFB的面积为×|AF||yB|=×2×=.
8.求与圆(x+2)2+y2=2外切,并且过定点B(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程.
解析:圆(x+2)2+y2=2的圆心为A(-2,0),半径为.
设动圆圆心为M,半径为r.
由已知条件,知?|MA|-|MB|=,
所以点M的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支,
且a=,c=2,所以b2=.
所以M点的轨迹方程为-=1(x>0).
9.已知两定点F1(-,0),F2(,0),满足条件||-||=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)如果||=6,求k的值.
解析:(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-,0),F2(,0)为焦点的双曲线的左支,且c=,a=1,易知b=1,
故双曲线E的方程为x2-y2=1(x<0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组:
,消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,
又已知直线与双曲线的左支交于A、B两点,有
,解得-<k<-1.
(2)因为|AB|=·|x1-x2|
=·
=·
=2.
依题意得2=6,
整理后得28k4-55k2+25=0,
所以k2=或k2=,但-<k<-1,所以k=-.
1.(2013·衡水调研)椭圆+=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c.若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( A )
A. B.
C. D.
解析:由d1+d2=2a=4c,所以e==,故选A.
2.(2012·福建省宁德市质量检查)已知方程+=1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围是( B )
A.k>1或k<3 B.1<k<3
C.k>1 D.k<3
解析:因为方程+=1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆,所以,解得1<k<3,故选B.
3.(2013·温州五校)椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则|PF1|=( A )
A. B.
C.6 D.7
解析:由条件知PF2⊥x轴,
则|PF2|==,
于是|PF1|=2a-|PF2|=2×5-=,故选A.
4.(2012·海淀二模)已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是(C )
A.0 B.1
C.2 D.2
解析:由于O为F1、F2的中点,
则|+|=2||,
而当P为短轴端点时,||取得最小值1,
所以|+|的最小值为2,故选C.
5.(2012·重庆市第二次七区联考)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的三倍,则m的值为.
解析:由题意得=3×1,所以m=.
6.(2012·广东省潮州市上学期期末)直线x-2y+2=0经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为.
解析:由直线方程知椭圆的焦点为(-2,0),顶点为(0,1),则b=1,c=2,所以a==,所以e==.
7.(2012·广东省肇庆第一次模拟)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为6 .
解析:由题知,即,
解得,
由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a=4×=6.
8.设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距;
(2)如果=2,求椭圆C的方程.
解析:(1)设椭圆C的焦距为2c.
由已知可得F1到直线l的距离为c=2,
故c=2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知y1<0,y2>0.
直线l的方程为y=(x-2).
联立,得方程组,
消去x,得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0,
解得y1=,y2=.
因为=2,所以-y1=2y2,
即=2×,得a=3.
而a2-b2=4,所以b=.
故椭圆C的方程为+=1.
9.(2012·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,经过点A(0,1),离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线ln:y=(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相交于点An(xn , yn),记an=x,试证明:对?n∈N*,a1·a2·…·an>.
解析:(1)依题意,设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
则,解得,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由,得x=,
an=x=,
所以a1·a2·…·an=×××…×=>.
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