（本试卷分选择题和非选择题，全卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的一个为（ ）
（A）全称命题，对于取值集合中的每一个元素，命题都成立或都不成立
（B）特称命题，对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立
（C）“全称命题”的否定一定是“特称命题”
（D）“特称命题”的否定一定不是“全称命题”
2、若纯虚数满足
，(是虚数单位，是实数)，则
A．2 B．2 C．8 D．8
3、设成等比数列，其公比为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、任给的值，计算函数中值的程序框图，如图， 其中，①、②、③分别是（ ）
（A）、、
（B）、、
（C）、、
（D）、、
5、已知的夹角为，设，若则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、若不等式组表示的平面区域不能构成三角形，则的范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、已知是双曲线的半焦距，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9、设是平面上形如的点构成的集合，三点是集合中的元素，则以为顶点，共可构成三角形的个数为 ；（用数字作答）
10、一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分10个小组，组号分别为1，2，…，10，现采用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组中随机取得的号码为，那么在第组中抽取的号码的个位数与的个位数相同，若，则在第6组中抽取的号码为 ；
11、三角形的一个性质为：设△SAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AC边上的射影为H，则. 结论推广到三棱锥，设三棱锥S—ABC的三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，点S在平面ABC上的射影为H，则有： ..
12、设an是(＋3)n的展开式中x的一次项的系数，则()的值为 ．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13.（坐标系与参数方程选做题）过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点．则线段AB的长为 ．
14.（几何证明选讲选做题）如图，PA切于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、（本小题满分分）
在△ABC中，为三个内角为三条边， 且
（1）判断△ABC的形状；
（2）若，求的取值范围．
16、（本小题满分分）
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
17、（本小题满分分）
两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知 , 是方程 x2－5x + a = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．
(I) 求 p1, p2的值；
(II) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(III) 甲、乙两人轮流射击，各射击3次，中靶一次就终止射击，求终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望？
18、（本小题满分分）
在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝，EF＝EC＝1，
⑴求证：平面BEF⊥平面DEF；
⑵求二面角A－BF－E的余弦值。
19、（本小题满分分）
已知，（），直线与函数、的图像都
相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．
（1）求直线的方程及的值；
（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；
（3）当
20、（本小题满分分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点．直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．
参考答案
一、选择题
1、（D）；“特称命题”的否定一定是“全称命题”，故D不正确。
2、（C）；设，由，
得
3、（A）；由于
4、（D）；首先注意到“是”时，“”则①应该是“”；再看②，由于“否”时，，会想到②应该是“”；当“”时，“”；
5、（D）；由，得
6、（A）；如图，直线从原点向右移动时，移动到时，再往右移不等式组所表示的区域就不能构成三角形了；又从点向右移动时，不等式组所表示的区域又为三角形；
7、（D）；由，由于，且函数在上是增函数，那么的取值范围是；
8、（D）；由或，得函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；又为偶函数，得函数的图象关于直线对称；
由，由于即得结论。
二、填空题
9、五个点中有三点共线，那么可构成三角形的个数为。
10、；由于即第6组中抽取的号码的个位数为4，由于第6组中号码的十位数均为5，于是得结论；
11、；经过四面体的棱SA与点H作平面，与棱BC交于点D. 易知，棱BC⊥平面SAD. 在Rt△SAD中，有.
又 ∵ △SBC、△HBC、△ABC有公共边BC，
∴ ，即
12、∵x的一次项是由两个括号中取与其于n－2括号个括号取常数相乘得到，∴an＝，于是＝＝18(－)，所以)＝×18)＝18．
13、直线的参数方程为 ，曲线可以化为
将直线的参数方程代入上式，得．
设A、B对应的参数分别为，∴
AB＝．
14、∵PA切于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA,
∴,∴,在△POD中由余弦定理得
=
∴.
三、解答题
15、（1）对应用正弦定理，变形，有，所以
或．
若，且，所以 ，；于是，有
，得，所以三角形．
（2）∵ ，∴，
∴，而，
∴，∴，
由于，所以．
16、（1）.
（2），
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
17、(I) 由题意可知 x甲 ~ B(5, p1)，
∴ Dx甲 = 5p1 (1－p1) = ? p12－p1 + = 0 ? p1 =
又 += 5， ∴ p2 =
(II) 两类情况：共击中3次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 =
共击中4次概率：C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 =
所求概率为： + =
(III) P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=, P(ξ=5)=,
P(ξ=6)=,
ξ的分布列为
|
Eξ==。
18、（1）证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD.
连接BD交AC于点O，连接FO.
∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2.
在直角梯形ACEF中，∵EF=EC=1，O为AC中点，
∴FO∥EC，且FO=1；易求得DF=BF=，DE=BE=.
由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，
∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角.
由BF=DF=，BD=2可知∠BFD=，
∴平面BEF⊥平面DEF
⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB=BF=AF=，∴AM⊥BF.
又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。
易求得，.取BC中点P，连接NP，则NP∥EC，
∴NP⊥平面ABCD，连接AP，在Rt△中，可求得，
∴在△中，由余弦定理求得
即二面角A－BF－E的余弦值为
解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则，
，，，，
∴，，
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为，则
① ②，
③， ④.
由①③③④解得，
∴
∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF.
⑵设平面ABF的法向量为，∵，
∴，，解得
∴
∴
由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，
故二面角A－BF－E的余弦值为
19、（1）依题意知：直线是函数在点处的切线，
故其斜率，所以直线的方程为．
因为直线与的图像相切，
所以由，
得（不合题意，舍去）；
（2）因为（），
所以．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；
（3）当时，．
由（2）知：当时，，即．
因此，有．
20、（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有
解得．
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）由，得．
设点、的坐标分别为、，则
．
（1）当时，点、关于原点对称，则．
（2）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得 即
点在椭圆上，有，
化简，得．
，有．………………①
又，
由，得．……………………………②
将①、②两式，得．
，，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．
（Ⅲ），点到直线的距离，
的面积．
由①有，代入上式并化简，得．
，．
当且仅当，即时，等号成立．
当时，的面积最大，最大值为．
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