求解运动学微分方程：原函数法

将运动学微分方程改写成微分形式，对时间求不定积分，利用初始条件确定积分常数，就可以得到位置或速度与时间的依赖关系。

在《获取物体的运动学量》中，我们首先从物理的层面出发对粒子的运动进行分析，得到了获取位置和速度的数学公式。其实，这个问题也可以先从数学的层面出发得到解决。

让我们重新考察速度和加速度的定义式：

如果你已经有了一定的数学基础，应该马上就意识到如何从数学的层面上解决我们的问题。不过，我还是假定你对数学的了解并不多，所以，接下来要对这个问题做仔细的回应。

在上面的速度或加速度的定义式中，有一个我们想要知道的未知物理量，并且这个物理量是以对时间的导数的形式出现的。另一方面，与这个时间导数同时存在于一个等式中，还有一个已知的物理量，比如说速度或者加速度对时间的依赖关系。我们知道，在一个等式中，如果既含有已知量又含有未知量，这个等式就被称为“方程”，或者更准确地说，是一个“代数方程”。我们在中学中熟悉的“一元一次方程”或者“一元二次方程”等就是代数方程。现在，在关于速度与加速度的定义式中，甚至还含有未知变量对自变量的导数，这种等式被称为“微分方程”。通过对这两个微分方程进行求解，就可以得到我们想要知道的未知的物理量的表达式。我们不打算详细地讨论微分方程的求解理论，这些理论你很快就会在数学课程中学到。在这里仅对上面提出的问题给出一个详细的解决方案。

假定已经知道了速度对时间的依赖关系，先把速度的定义式改写成如下形式：

对上面这个经过改写的等式的两边同时做一次不定积分，将两边做不定积分时得到的任意常数合并，就可以得到下面的等式：

等式最右边的那个式子被称为速度的原函数，一个函数的原函数可以带有一个任意的积分常数。显然，由于积分常数是任意的，由上述等式给出的位置对时间的依赖关系并不完全确定。为了能够明确地得到位置与时间的函数关系，需要把这个任意的积分常数确定下来。通常的做法是，在一个特定的时刻

(称之为初始时刻)测量粒子所处的位置

(称之为初始位置)，把这两个数值代入上面的等式中：

由此就得到了积分常数的表达式，并最终确定了位置与时间的函数关系：

结果发现，只要求出了速度的原函数，再测得粒子的初始位置，粒子在任意时刻的位置就确定了。

在许多情况下，我们可能会通过某种途径获得加速度对时间的依赖关系。在这种情况下，可以利用加速度与速度之间的关系，先把速度对时间的依赖关系求出来。为了达到这个目的，把加速度是速度对时间求一阶导数这个定义式改写成：

再仿照上面的求解过程对这个经过改写的等式的两边做不定积分，就可以得到

等式最右边的式子是加速度的原函数。如果在初始时刻

测得粒子的初始速度为

，粒子的速度对时间的依赖关系就确定下来了：