导体的静电平衡

一个结构均匀的理想导体，内部的电场强度等于零是实现静电平衡的充分必要条件。

在讨论库仑定律的问题中，我们给出了两个静止的点电荷之间的相互作用力的表达式，并以此为基础，给出了静止的点电荷激发的电场强度的表达式。在讨论高斯定律的时候，我们还特别强调，库仑定律只适用于静止的点电荷。在许多实际的应用中，“静止的点电荷” 是一个很好的近似。然而，对于没有任何约束和边界的问题，“静止的电荷” 几乎是不可能实现的，除非全空间只有一个点电荷。

如果一个电荷系统存在某种约束或者边界条件，情况就不一样了。在这样的条件下，一个电荷系统中各个电荷会在其他电荷的联合作用下产生运动，并根据约束的条件或者边界的形状和性质进行排布，最终就有可能形成一个适应这种约束条件或边界的电荷聚集体。这时候，整个电荷系统将形成一个静止的带电体，它激发的电场也是严格的静电场。当一个电荷系统处于这种状态时，称这个电荷系统达到了静电平衡。

把静电平衡这个概念用到一种特殊的电荷系统——导体中，会得出一个奇妙的结论。在导体的内部存在大量自由电荷，如果在导体的内部有电场，处于电场中的自由电荷就会在电场的作用下运动，使电荷的分布状态发生改变，这种改变又会反过来影响导体内部的电场分布。只要导体内的电场强度不等于零，电荷的运动就不会停止，电场就会不断地发生改变。这就意味着，除非导体内部的电场强度等于零，一切运动和变化也复归于零，否则，静电平衡状态就不可能实现。于是，导体内部的电场强度等于零是导体实现静电平衡的充分必要条件。当然，这里讲的导体是指结构均匀的理想导体，对于实际的导体，情况会对上述讨论有所偏离，但是，这不是基础物理这门课程能够讨论的话题。

由于导体内部的电场强度处处为零，由电势的定义式立刻可以得到，导体内部任意两点之间的电势差等于零，因此，整个导体是一个等势体。既然导体是一个等势体，它的边界就必定是一个等势面。回顾等势面的其中一个性质：电场线与等势面正交。于是，在导体表面的外侧，电场必定与导体的表面垂直。

在导体内部任意一点附近作一个闭合曲面 ，如下图左所示。如果这个闭合曲面上的每一点都位于导体的内部，则闭合曲面上的电场强度处处等于零。于是，通过该闭曲面的电通量等于零。根据高斯定律，闭合曲面内的总电量必定等于零。由于所作的闭合曲面除了必须处于导体内部这个条件外，其大小与形状没有任何限制，因此，这个闭合曲面可以是无穷小的。于是，在导体内部任意一点附近的无穷小的闭合曲面内的总电量为零。这意味着导体内部任意一点的带电量必定等于零，也就是说导体内部不带电。

以上分析显示，在静电平衡的状态下，导体内部的电场强度和剩余电荷均为零，一个带电导体的电荷必定全部分布在导体的表面。

利用以上信息可以求出，在静电平衡的状态下，导体表面外侧的电场强度与导体表面上的电荷分布方式之间的关系。

考察导体表面外侧任意一点 点，在导体表面贴近 点处取一小块面积为 的面元，由于面积很小，可以将上面的电荷分布看作电荷面密度为 的近似均匀分布。以这个面元为横截面作一个与该面元垂直的扁平状圆柱面，其中一个底面过 点，另一个底面在导体内，如上图右所示。通过这个圆柱面的电通量

在导体内，电场强度等于零，这个部分的积分自然就等于零；在圆柱面的侧面，电场要么等于零 (导体内那部分)，要么与圆柱面的法向垂直 (在导体表面的外侧)，这个部分的积分也等于零；在过 点的那个面上，电场沿着该面的法向，。另一方面，由于 很小，在过 点的横截面上，电场强度近似地是一个常矢量。由此可以算出过 点的面积分，得到通过圆柱面的电通量

根据高斯定律，这个电通量应该正比于面元 所带的电量：

由此得到电场强度在导体表面外侧的分布：

以上的讨论仅仅是在基础物理学的知识层面上对导体静电平衡问题的粗浅认识，更深入的静电平衡机理问题，不是在一门基础课程中能够讨论的。