​初等复变函数

将实变函数中的初等函数推广到复数域，就得到初等复变函数，它们都是解析函数，其定义、性质、运算法则和求导数的规则与实变函数中对应的初等函数完全相同。

将实变函数中的初等函数推广到复数域，就得到初等复变函数。可以验证，初等复变函数都是解析函数。初等复变函数的定义、性质和运算法则与实变函数中对应的初等函数一模一样，求导数的规则也完全相同。

在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，经常用到的初等复变函数有幂函数、指数函数、三角函数和双曲函数。

幂函数是最简单也是最常见的一种初等复变函数，它的基本形式是

为了论证这种函数是解析函数，要将它的实部和虚部分解出来。为了实现这个目标，使用极坐标 表示自变量是方便的。在这种表述下，可以将幂函数轻易地分解成实部与虚部相加的形式：

由此可以得到 4 个一阶偏导数：

比较以极坐标表示自变量的柯西—黎曼方程马上可以看出，这 4 个偏导数满足函数可导的必要条件。对于 的情况，除去无穷远点，对于 的情况，除去原点，函数及其 4 个偏导数在整个复平面上存在并连续。因此，对于 的情况，无穷远点是幂函数的唯一的奇点，而对于 的情况，原点是幂函数的唯一的奇点。除了在这两种情况下各有一个奇点外，幂函数在整个复平面上是解析的。

另一个常见的初等复变函数是指数函数：

第一个等号后的式子给出指数函数的模与辐角，第二个等号后的式子给出实部与虚部。

从指数函数的表达式可以看出，要判断它的解析性，用直角坐标做自变量是方便的。分析表明，除了无穷远点，指数函数在全平面上解析。由于当自变量沿实轴正向或负向，以及沿虚轴趋于无穷远点时，指数函数逼近不同的值，因此，无穷远点是该函数的奇点。关于对指数函数的解析性讨论，具体的论证就交给大家去做吧。

由于指数函数的自变量 在指数位置上，当自变量增加 时，函数值恢复原值，因此，该函数是一个周期函数，其周期为 。

有了指数函数，就可以用它们来定义三角函数：

与实变三角函数一样，复变三角函数也是周期函数。不难明白，复变三角函数的周期也是 。

与实变三角函数不同的是，复变三角函数的模有可能大于 1。比如说，对余弦函数，根据定义可以把它分解成实部与虚部相加的形式：

由此得到它的模 (的平方)：

对一个函数取模，还有一种更简便的方法。前面曾经讲到，一个复数与它的复共轭相乘，可以给出这个复数的模。要写出一个复数的复共轭，原则很简单：把组成这个复数的所有项取复共轭。下面以正弦函数为例，看看用这种方法如何得到它的模：

显然，这种方法要比把复变函数展开成实部与虚部相加的方法更简便。

由此看来，让正弦函数或余弦函数的模大于 1 并不是一件困难的事情。

利用指数函数还可以定义双曲函数：

双曲函数也是周期函数，它的周期继承了指数函数的周期，也是 ，具有纯虚数周期。

由于指数函数是解析函数，它们的和与差也是解析函数，因此，三角函数和双曲函数也是解析函数，解析区域和奇点与指数函数相同。

以上给出的初等复变函数是最基本的解析函数，更复杂的解析函数可以用它们来构造。