在讨论气体的粒子数按速率分布的问题中，我们引入了速率分布函数的概念，并提出了确定速率分布函数的实验方法。其实，在能够通过实验测定速率分布函数之前，麦克斯韦已经从理论上导出了这个函数的形式：在目前的知识层面下，我们暂时不去理会如何得到这样一个函数，仅满足于接受它的正确性。在稍后的课程中，我们将进一步讨论如何从理论上导出这个函数。
如下左图是根据麦克斯韦速率分布函数画出的函数曲线图。从曲线图可以看出，速率分布函数曲线就像一条钟形曲线，气体粒子的速率可以取从 0 到 之间的一切数值，速率很低和很高的粒子所占的比例很小，具有中等速率的粒子占了极大的比例。钟形曲线必定有一个极大值，对应的速率被称为最概然速率，用符号 标记，它的物理意义很清楚：粒子的速率取 的可能性最大，如上左图所示，图中还标出了另外两个重要的速率值，我们稍后再做讨论。根据高等数学中寻找函数的极大值点的知识，通过将速率分布函数对速率求导数，就能够确定分布函数曲线的最高点：当速率取最概然速率值 时，分布函数的一阶导数等于 0，由此得到最概然速率由麦克斯韦速率分布函数的形式和最概然速率的表达式可以得知，钟形曲线的形状随系统的温度和成分而改变：对同一种成分的气体，温度越高，曲线将朝向速率越高的方向扩展，并且变得越平缓。这显示，温度越高，气体中速率较高的粒子越多，从而使最概然速率变得越高，如上中图所示；类似地，在同一温度下，粒子质量越小的气体，其曲线也会朝向速率越高的方向扩展，如上右图所示。有了速率分布函数，就可以求出各种微观物理量的统计平均。不过，在开始做这些事情之前，验证麦克斯韦速率分布是否满足归一化条件是有好处的。验证归一化条件时所实施的数学处理方法，可以用来处理物理学中许多其他数学问题。
等式右边的积分是一个纯数学的积分，对它做一次分部积分得到要把积分 做出来，需要使用一个简单的积分技巧，这个技巧在解决许多问题时很有用。为了计算 ，先把 算出来：在运算的过程中已经利用了积分变量可以用任意字母书写这个特点，把一个积分的平方写成两个积分的乘积，这两个积分各自使用了不同的字母作为自变量。当把同一个积分写成这样两种形式之后，它们内部的积分变量就是相互独立的，从而使得整个式子就好像直角坐标系中的一个二维积分。
结果发现，我们把计算两个一维积分的乘积转变成计算一个二维积分。为了算出这个二维积分，我们把用直角坐标表示的积分式转变成用极坐标表示的积分式。在直角坐标表示中，积分面元的面积可以表示成 ，如上左图所示。当把积分转变到用极坐标表示时，积分面元的面积就变成 ，如上右图所示。从用直角坐标表示的积分上下限可以判断，积分在第一象限内完成。因此，在转变到用极坐标表示时，积分变成了如下形式：把这个结果代入归一化积分中，最终验证了麦克斯韦速率分布满足归一化条件：在验证麦克斯韦速率分布满足归一化条件的过程中，我们得到了两个重要的积分结果 和 ，这两个结果以及相应的数学处理方法在其他物理问题中也非常有用。
