仅有“双基”是不够的
记者：《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准(2011年版)》)有一个十分明显的变化，就是课程目标明确提出“四基”，除了我们熟悉的“双基”(基础知识和基本技能)外，还增加了“基本思想和基本活动经验”，为什么要增加这两个维度的目标?
马云鹏：“双基”是我国数学教育多年形成的传统，加强“双基”也是数学课程教学的重要特征，是学生数学基础好、数学成绩优的重要标志。然而，随着社会的发展，特别是人类知识的快速增长，只是强调“双基”已经不能满足现实的需要，必须在“双基”的基础上有所发展。从上世纪80年代开始，数学教育界就数学课程与教学改革如何加强学生能力的培养、如何关注学生的非智力因素以及如何培养学生的创新意识和实践能力等问题进行深入持续的探讨。《义务教育数学课程标准(实验稿)》提出过程性目标以及重视学生情感、态度与价值观的培养等，表明人们不断意识到只有“双基”是不够的，必须与时俱进，不断创新。因此，《标准(2011年版)》明确提出“四基”是数学教育改革的必然要求，是时代发展的必然趋势。
从“双基”到“四基”是多维数学教育目标的要求。知识与技能的培养只是数学教育目标的一部分，而这部分往往是看得见、可测量、易操作的。人们往往在教学与评价中把关注的焦点放在所谓的知识点上，放在所谓的技能训练上。评价学生也往往注重在知识技能上的表现，忽视其他方面。然而，数学教育的目标除知识技能外，还应当包括学生多方面的能力、学生对数学思想的把握、学生活动经验的积累以及学生的情感态度等。因而，只有知识技能是不够的，必须同时发展学生数学素养的其他方面，基本思想和基本活动经验正是学生数学素养的重要组成部分。数学基本思想应贯穿于数学学习过程。
记者：能不能解释一下，什么是“数学基本思想”?
马云鹏：数学基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。之所以把这些称之为数学基本思想，是因为它们贯穿于数学的学习过程，是对数学本质理解的集中体现。数学学习内容的四个方面：数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践，都应当以数学基本思想为统领，在具体内容的理解和掌握过程中体现数学的基本思想。
数学基本思想应当成为学习掌握各部分数学内容的魂，成为形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题的主线。
记者：能不能举例说明?
马云鹏：比如，数概念的形成与发展是数与代数中的重要内容，从整数、小数、分数到有理数的学习，是一个从具体事物和数量抽象为数的过程，是抽象水平不断提高的过程。教学中应当结合具体教学内容的学习，把抽象的思想体现在教学活动之中，培养学生的抽象思维能力。比如，最简单的10以内数的认识，其中就蕴含了深刻的抽象的过程和抽象的思想。
学生认识数的过程，不只是单纯认识数字符号，而是一个从具体到抽象的过程，教师应综合考虑数、数量、数量关系等要素，结合学生学习的特征设计和组织相关内容的教学。
在学习20以内数的认识时，教材一般是将10以内数的认识和运算、20以内数的认识和运算作为相对独立的两部分设计。开始认识1~10，再认识加法和减法、0等；然后再认识11~20，20以内的加法和20以内的减法。对有关教材进行分析可以了解到，按照教材编者的想法，是把数的认识和运算结合起来，使学生由简单到复杂认识10以内数的加减法。通过数量的感知、数字的认识、数的大小比较以及数的运算等，逐步抽象出数概念和数的运算。从培养学生抽象的思想的角度考虑，按照数的认识从具体到抽象的过程，教学设计应当掌握以下几个要点。
第一，引导学生看图感知数量：说一说图中各种事物的数量(一头大象，两只犀牛，三只小鹿，四朵白云，五个小朋友，等等)，可以把看到的数量尽可能地表达出来，建立实物与数量之间的关系，了解实物的个数可以用数量表示。这时是把具体的事物用数量表示出来，是用数量刻画事物，把事物的个数与相应的数量建立联系。
第二，从数量抽象为数。从一头大象，一个太阳，一根小棒，到数字“1”；从两只犀牛，两棵树，两根小棒，到数字“2”，是从数量到数的抽象。教学中应当把数量为l的事物放在一起，把数量为2的事物放在一起……引导学生感受这些数量用数表示就是1，2，3……
第三，感知数量的多少和数的大小。按照实物、数量和数的抽象过程，“比较大小”要完成两个层次的抽象，一个是比较数量的多少，一个是比较数的大小。比较数量的多少应当是将同样的东西进行比较，我们不能说4个梨比3个猴子多，只能说4个梨比3个梨多。只有抽象为数的时候，才能比较大小。无论是4个什么，抽象为数都是4，无论是3个什么，抽象为数都是3。这时可以把两个数进行比较，即4大于3，3小于4。教学设计时要充分注意这一过程，始终把不同层次的抽象体现在教学过程中，使学生不断感悟数量、数及其抽象的特点，逐步形成数学抽象的思想。当然，这个过程不是一蹴而就的，需要在学生学习的不同阶段不断有意识地组织相应的活动，渗透数学思想。
过程性目标实现的标志是学生形成基本活动经验
记者：看来数学基本思想真的非常重要。那么，什么是“数学基本活动经验”呢?
马云鹏：基本活动经验是在学生参与数学学习的活动中积累起来的。如果把数学基础知识和丛本技能的学习看作是显性的话，那么基本活动经验的积累就具有隐性的特征。
首先，数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系。《标准(2011年版)》确定的目标有两类，一类是结果性目标，一类是过程性目标。一般来说，结果性目标是指向基础知识与基本技能的。过程性目标更多地指向数学基本思想和基本活动经验，而数学基本活动经验主要是过程性目标的体现。如《标准(2011年版)》规定，“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能；参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验”。在具体的课程内容中，也有一些过程性的描述：“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性；经历简单的数据收集和整理过程，了解调查、测量等收集数据的简单方法，并能用自己的方式(文字、图画表格等)呈现整理数据的结果。”这些过程性目标和内容实现的主要标志就是学生形成活动经验，学生在经历相关的数学活动中，了解数学知识发生发展的过程，体会数学知识和方法的探究。
其次，数学基本活动经验的积累依靠丰富多样的数学活动的支撑。这里的数学活动是指伴随学生相应的数学知识学习而设计的观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括、数据搜集与处理、问题反思与建构等。数学活动的设计与相应的知识技能有关，但其目的不只是为了完成数学知识技能的学习，还是学生数学活动经验积累的重要途径。以数据的搜集整理和分析相关的活动设计为例。《标准(2011年版)》在第一、二、三学段分别用了3个相似的例子说明如何设计和组织有关的活动。第一学段的例19，对全班同学的身高进行调查分析；第二学段的例38，对全班同学的身高数据进行调查分析；第三学段的例70，比较自己班级与别的班级同学的身高状况。这几个例子的设计，一方面让教师结合不同学段学生的发展和学习内容的深入，用具有一定连续性的例子，使学生体会数据搜集整理的过程；另一方面使学生在这个过程中不断积累获得数学信息、整理与分析数据的活动经验，了解到统计的知识与方法主要是从现实的问题中产生的，具有现实意义。同时，在这个过程中逐步形成数据分析观念。设计有效的数学活动是学生积累活动经验的保障。数学知识的探索、数学建模的设计与组织、数学探究活动等都是很好的数学活动。如，探索物体长度的测量和长度单位的建立过程，探究不同的树叶长宽之比，探索小数点的移动使数值发生的变化，探索三角形的三边关系等都可以设计成数学活动。学生通过自己的操作、猜测、验证，发现问题、研究问题和解决问题。在这个过程中，学生获得的不仅仅是认识相关的知识，得出相应的结论，而且积累了如何去探索、发现，如何去研究的经验。
第三，数学基本活动经验的积累是一个长期的过程。活动经验要靠积累，积累需要一个过程，不能指望一两次活动就能完成。因此，应当把活动经验的积累看作是一个长远的目标，持续不断地组织学生参与数学探究的过程，逐步形成数学活动经验。
“双基”的要求应是理解、掌握、正确，而不是死记硬背和速度训练
记者：在《标准(2011年版)》中，“双基”的含义有什么变化吗?
马云鹏：对于“双基”，虽然中小学教师非常熟悉，并在多年教学实践中积累了丰富的经验，但在使用《标准(2011年版)》中，对“双基”应有新的理解和把握。
基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式等。对基础知识的教学重在理解和掌握，而不是死记硬背多少概念和法则。理解的标志在于能描述对象的特征以及与相关对象之间的区别和联系。掌握是在理解的基础上，把对象用于新的情境，本质是能够在具体问题中运用相关的知识。
例如，《标准(2011年版)》第二学段有这样的内容要求：“结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义”，并用例25对这一要求加以解释。下面借助这个例子对理解和掌握基础知识做简要说明。
例25：说明1/4，0.25和25%的含义。
分数、小数和百分数是重要的数概念，它们有本身的特征，又有密切的联系。真分数通常表示部分与整体的关系，所以理解什么是1/4，一定要知道是哪个整体的，如全班同学人数的1/4。全班同学是40人，其1/4就是10人，全班同学是32人，其1/4就是8人。小数通常表示具体的数量，如一支铅笔0.25元，书桌的宽度是0.45米。百分数是同分母(统一标准)的比值，便于比较，如去年比前年增长21％，今年比去年增长25％。在实际的教学中，学生能够举出恰当实例说明分数、小数和百分数的含义，意味着他们理解这几个概念的含义。同时，在具体的情境中合理运用不同的数表示具体的数量也是进一步的理解。
基本技能内容包括基本的运算、测量、绘图等技能。对基本技能的要求一直都离不开“正确、迅速、合理、灵活”等。而在实际教学和测验中，往往把速度看得过重，一味追求运算的速度。把形成熟练的技能当作天经地义的事，并且成为大量训练、题海战术的理由。在这种理念下，难免把技能训练作为数学学习的重要内容，甚至是核心要求。从数学的本质考虑，技能的要求应当以正确为重点，在正确的基础上可能会考虑合理，应当淡化对速度的要求。一方面在解决问题的过程中，重在思考，速度是居于次要地位的；另一方面，速度是因人而异的，不能要求大多数学生都达到同样的计算速度。这也是不同人在数学上有不同发展的标志之一。一分钟正确地解答出一个问题和两分钟正确地解答出一个问题，在本质上并没有区别。经过自己的思考，寻找恰当的方法解决问题才是重要的。这个问题也与考试的题目和要求有关。一些考试题量过多，学生必须有很快的速度才能完成，也是导致教师追求速度的一个原因。但从另一个角度看，这种考试和测验的模式是否是平时的教学中追求技能熟练的结果呢?《标准(2011年版)》对于一些基本的运算给出了速度上的建议。如要求第一学段20以内加减法和表内乘法，每分钟完成8~10题。这一要求可以看作是一个参照，大多数学生经过一定的训练完全可以达到，不排除一些学生经过一段时间才能达到这一要求，也会有相当一些学生要高于这一要求。这一要求可以成为平时考查学生的参考，也可以作为测验和考试的参考。
核心概念体现数学内容的本质
记者：我们注意到，《标准(2011年版)》提出了与四个学习领域相关的10个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识。为什么要提出这10个核心概念?
马云鹏：核心概念的设计与课程目标的实现、课程内容实质的理解以及教学的重点难点的把握有密切关系。
首先，核心概念是全面实现课程目标的需要。《标准(2011年版)》设计了以“四基”为核心的课程目标，这些课程目标的实现依赖于相应的课程内容。数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个方面的内容，规定了数学课程的范围和具体要求。这些方面的内容与知识技能目标之间的联系是显而易见的，但怎样体现这些内容与其他方面目标之间的关系，这些内容怎样在学生获得数学思想、数学活动经验以及数学思考、解决问题等方面发挥作用，是需要认真思考和设计的问题。核心概念提出的目的之一，就是在具体的课程内容与课程的总体目标之间建立起联系。通过把握这些核心概念，实现数学课程目标。
如，数感、符号意识表现了数学抽象的特征，“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”，“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性”。在数与代数领域数概念的形成、字母表示数、代数式的理解和运用等内容的学习中，这些核心概念起着导向的作用。教师在使学生理解相应的数学知识技能的同时，还要关注学生数感、符号意识的形成，把重要的数学思想体现在教学之中。
又如，数据分析观念对于理解、把握统计与概率等内容有重要意义。“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性……”教学中，为学生创造实际收集数据的机会，有意识地引导学生体会数据中蕴含的信息，体验数据中的随机性等，会使有关的内容教学更加丰富。
其次，核心概念体现数学内容的本质。核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了数学内容的本质特征以及数学思维方式。数学内容的四个方面都以10个核心概念中的一个或几个为统领，学生对这些核心概念的体验与把握，是对这些内容的真正理解和掌握的标志。
记者：能不能再具体谈谈，这些核心概念与课程内容之间是什么关系?
马云鹏：这些核心概念总体上是对所有数学课程内容而言的。但各个方面的内容在体现核心概念上有所侧重。比如，“数与代数”这部分内容与数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念直接关联，这些内容的学习不同程度地体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。“图形与几何”这部分内容与空间观念、几何直观、推理能力和模型思想等核心概念直接相关。“统计与概论”这部分内容与数据分析观念、推理能力、模型思想等有密切关系。而应用意识和创新意识在四个部分内容的教学中都应当有所体现。因此，在进行相应内容的教学时，要更多关注与哪些核心概念关系更为密切，教学中应予以更多的关注。
核心概念对于深入理解和掌握相关数学知识不可缺少，同时也是学生是否能够把握数学思想、数学的思维和恰当地运用数学知识与方法解决问题的重要标志。理解和落实核心概念是数学教学中始终应当把握的一条主线。
核心概念通常要在学习的过程中体会和运用
记者：这些核心概念与数学的知识技能有什么区别?
马云鹏：区别很大。知识技能多是显性的内容，是容易把握和操作的。这些内容往往以知识点的形式出现，设计和组织教学时比较容易受到关注，也容易在教学实践中落实。而核心概念往往不是以显性的形式出现的，而是以与知识技能相关的隐性的观念或思维方式的形式出现，通常要在学习的过程中体会和运用。
比如，有教师在教学体积单位立方厘米、立方米时，组织学生通过具体的活动感受l立方米有多大。用铁丝围成一个边长为1米的正方体，它的体积是1立方米。请几个学生站进去，看看最多能容纳多少学生。这样的活动使学生切实感受到1立方米有多大，在头脑中形成关于1立方米的表象，也就是形成了空间观念。只是告诉学生1立方米是边长l米的立方体的大小，或者展示出l立方米=1000立方分米=100万立方厘米，学生感知的只是数字，是数量关系，而没有形成空间观念。类似的数感、符号意识等核心概念，都需要在教学中精心设计相关的情境，引导学生在活动中感受相关的思想与方式。
核心概念是数学教学的统领和主线。教学的进程是以数学知识技能的学习逐步展开的，而在知识技能的学习和掌握过程中，要始终把相关的核心概念蕴含其中，设计有助于学生形成相关的数学核心概念的情境和活动，使学生逐步建立和形成数学核心概念。同时，也有助于学生对知识技能的理解和掌握。
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