阿波罗尼奥斯(Apollonius,约公元前262---前190)是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家.年轻时曾到亚历山大里亚就学,受教于欧几里得的弟子,后来从事教学工作.
阿波罗尼奥斯是一位有名望的天文学家,但他写过多种数学著作,其中《圆锥曲线论》(ConicSections)是一部非凡的巨著,以此在同辈中间赢得了“伟大的几何学者”的称号.《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响.在数学界统治了近2000年,直到17世纪帕斯卡、笛卡儿时代才开始有本质上的改变.
《圆锥曲线论》共含8卷,包括了400多个命题,将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.名著《古代的圆锥曲线论》(ZeuthenDieLehreVondenKeg
也应看到,阿波罗尼奥斯是在前人工作的基础上发展了圆锥曲线理论.门奈赫莫(Menaechmus,约公元前375---前325)是系统研究圆锥曲线的第一个人,在通过解决三大几何难题之一“倍立方”问题中,他知道a∶x=x∶y=y∶2a与x2=ay和2a2=xy相当,由此导致对圆锥曲线的探讨.在公元前300年左右,欧几里得曾写过关于圆锥曲线的教科书,即《圆锥曲线原本》(Ele-mentsofConicSections),现已失传.后来阿基米德曾引用一些零散的命题.
阿波罗尼奥斯在第一卷中,主要是给出三种圆锥曲线即椭圆(ellipse),抛物线(parabola)和双曲线(hyperbola)的定义.实际上,阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的.他首先给出圆锥曲面的定义:
“如果有一点A,在不含此点的平面α上画一圆,在圆周上取一点P,连结AP并沿圆周运动形成的曲面叫做圆锥面.如图3.16
阿波罗尼奥斯把A叫做顶点,把A与圆心的连线叫圆锥面的轴,圆锥面和圆面围成的立体叫做圆锥.把圆面叫做圆锥的底.
如果用含轴的平面截圆锥,可得两个三角形ABC和AB′C′,BC和B′C′是圆锥的底与截面的交线,也可找到一个平面截这个圆锥,使交线DE垂直于BC,得到截面和三角形ABC的交线ZH,如图3.17.
(1)ZH平行于AC
过曲线DZE任意一点K,引直线平行于ED、交ZH于G,线段KG在平行于底的MKN面中,切口MKN是以MN为直径的圆,如图3.18.若引ZF,满足ZF∶ZA=BC2∶BH·AC,K是曲线DZE上的点,总有KG2=FZ·ZG,于是,以FZ、ZG为边的长方形面积FZ·ZG相当于以KG为边的正方形的面积.把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线.这乃是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线”
(2)ZH不平行于AC
①∠ZHB<∠ACB时.如图3.19
取交线ZZ′,做截面与底的交线DHE,由于DHE和BC相交,过A引直线平行于ZZ′,交BC延长线于一点K,做ZF满足AK2∶BK∶KC=ZZ′∶ZF,过曲线任一点G,过点G作平行于DHE的直线交ZZ′于M,于是有GM2=FZ·ZM-α成立.(α是正值)这说明以GM为一边的正方形面积小于以FZ和ZM为边的长方形的面积,称为“不
阿波罗尼奥斯能在如上复杂的图形中,寻求各种圆锥曲线的定义,显示出了他的高超才智.
第二卷开始部分描述了渐近线性质,其中指出,由于渐近线是向无限远伸展,所以它们要与曲线越来越靠近,以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度.此外,还证明了,由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成之矩形,其面积是一定的;这相当于笛卡儿术语中应以方程xy=c来表示的关系.接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法.最后说明作曲线之切线的各种方法.
第三卷含有一些定理,其中有一部分关于面积的定理.例如,若一条圆锥曲线上的任意两点A和B处的切线交于C,并与过B和A的直径交于D和E,则△CBD和△ACE面积相等.还有极点和极轴的调和性质(类似于我们在射影几何初等课本中的习题)以及关于相交弦线段乘积定理.例如,如果平行于两个给定方向的弦AB和CD相交于O,
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