十大高中平面几何几何定理汇总与证明的【精】整理版.doc

高中平面几何定理汇总及证明

共边比例定理

有公共边 AB 的两个三角形的顶点分别是 P、 Q， AB 与 PQ 的连线交于点 M，

则有以下比例式成立： △ PAB的面积： △ QAB 的面积＝ PM：QM.

证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证

S△ PAB=(S△ PAM-S△PMB)

=(S△ PAM/S△ PMB-1)×S△PMB

=(AM/BM-1) ×S△PMB(等高底共线，面积比 =底长比）

同理， S△ QAB=(AM/BM-1)×S△QMB

所以， S△ PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比 =底长比）

定理得证！

特殊情况：当 PB∥ AQ 时，易知 △PAB与 △QAB 的高相等，从而 S△PAB=S△QAB，反之， S△ PAB=S△QAB，则 PB∥AQ。

正弦定理

在任意一个平面三角形中， 各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的 2 倍”，即 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（ r 为外接圆半径， R 为直径）

证明：

现将 △ ABC，做其外接圆，设圆心为 O。我们考虑 ∠C 及其对边AB。设 AB 长度为 c。

若∠ C 为直角，则 AB 就是⊙ O 的直径，即 c= 2r。

∵ （特殊角正弦函数值）

∴

若∠ C 为锐角或钝角，过 B 作直径 BC`交 ⊙ O 于 C`，连接 C'A，显然 BC'= 2r=R。

若∠ C 为锐角，则 C'与 C 落于 AB 的同侧，

此时∠ C'=∠ C（同弧所对的圆周角相等）

∴在 Rt△ABC'中有

若∠ C 为钝角，则 C'与 C 落于 AB 的异侧， BC的对边为 a，此时∠ C'=∠A，亦可推

出 。

考虑同一个三角形的三个角及三条边，