函数的基本性质——小性质，大应用

函数是高中数学的重要内容，是高考中重点考察内容.研究关于函数的问题，主要是研究函数的三要素（定义域、值域、对应关系）和函数的三个性质（单调性、奇偶性、周期性），再加上广义的奇偶性，即对称性,就构成了函数这座大厦.

下面本文将从函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性的角度来阐述如何应用基本性质解决函数问题.

一、函数的单调性

1.函数单调性的定义

2.对函数单调性定义的理解

变式理解：

3.关于函数单调性的常用结论

（1）奇函数在对称的单调区间内单调性相同，偶函数在对称的单调区间内单调性相反；

（2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

（3）在公共定义域内，

增函数f (x) + 增函数g (x)是增函数；

减函数f (x) + 减函数g (x)是减函数；

增函数f (x) - 减函数g (x)是增函数；

减函数f (x) - 增函数g (x)是减函数;

（4）复合函数的单调性满足“同增异减”，即若内层函数和外层函数在某一区间的单调性相同,则复合函数在此区间为增函数,若内层函数和外层函数的单调性相反，则复合函数就为减函数.

二、函数的奇偶性

1.对奇（偶）函数的理解

（1）奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

（2）若奇函数在x=0有意义，则f(0)=0;

（3）奇函数在[a, b]和[-b, -a]上有相同的单调性，偶函数在[a, b]和[-b, -a]上有相反的单调性. 

2.函数奇偶性的应用

三、函数图像的对称性

根据函数图像的对称性，可以建立两个不同方面的问题之间的联系，实现解题的突破.

1.对称性可以看作奇偶性的推广

2.函数对称性的应用

四、函数的周期性

利用函数的周期性可以把一个未知函数的其它性质在一个周期内研究，从而达到窥一斑而见整豹的目的.

1.对周期性的理解

(1)若f (x+a)=f (x+b)，则该函数具有周期性；

(2)若函数有两个对称中心，则该函数具有周期性；

(3)若函数有两条与y轴平行的对称轴，则该函数具有周期性；

(4)若函数有一条与y轴平行的对称轴和一个对称中心，则该函数具有周期性.

2.函数周期性的应用

五、总结

本文主要综述了高中函数最重要的几个性质及应用，此外对于函数的性质，以下解题经验也请同学们掌握：

1．判断函数的奇偶性时，应首先该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(-x) = -f(x)，而不能说存在x₀使f(-x₀) = -f(x₀)．对于偶函数的判断，同样如此．

3.在解决函数性质有关的问题中，若结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质则可使抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了，这对问题的解决有很大的帮助.画函数草图的步骤为：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图像，再利用奇偶性确定对称区间的图像，最后利用周期性确定函数在整个定义域内的图像.

高考中经常综合运用函数的各个性质分析解决问题，希望同学们多多练习，熟练掌握.