一、定义
1.描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形； 固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径； 记作⊙O，读作“圆O”；
2.集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
注意：圆是一条封闭曲线，是指“圆周”不是“圆面”；
同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆
等圆：能够重合的两个圆
3.圆的确定：一是圆心（定点），二是半径（定长），二者缺一不可。
以定点O为圆心，可以画无数个圆；
以定线段R为半径画圆可以画无数个；
以定点O为圆心，定线段R为半径画圆，可以画且只能画一个圆.
二、点和圆的位置关系：圆O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则：
三、圆的对称性
1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，对称轴是直径所在的直线。
2.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
旋转不变性：围绕圆心旋转任意一个角度a，都能够与原来的图形重合。
3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4．1°的弧的概念：把顶点在圆心的周角分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被分成360等份，所以每一份这样的弧叫做1°的弧. 圆心角的度数和它对应的弧的度数相等.
5．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
②垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
四、圆周角和圆心角的位置关系
1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半。
3.圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形的特征：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角
五、确定圆的条件
1.确定一个圆必须具备的两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
（1）经过一点可以作无数个圆；
（2）经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这两点线段的垂直平分线上；
（3）经过在同一条直线上的三点不能作圆，经过不在同一条直线上的三点能且仅能做一个圆,圆心是三点中任意两点连线的垂直平分线的交点。
2.三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。
3.三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，三角形外心是三角形任意两条边垂直平分线的交点.
4.三角形外心的性质：
（1）三角形外心到三个顶点的距离相等；
（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部；
（3）三角形的外心与一边中点的连线必垂直于这条边；
（4）经过三角形的外心与一边垂直的直线必平分这条边．
未完待续......
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