本文内容选自2021年黔东南中考数学压轴题。以二次函数为背景,考查平行四边形的存在性问题与相似三角形的存在性问题。此类问题比较经典,也是常考问题。
【中考真题】
(2021·黔东南州)如图,抛物线(a≠0)与x轴交于A、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线的对称轴上,点Q在x轴上,若以点P、Q、B、C为顶点,BC为边的四边形为平行四边形,请直接写出点P、Q的坐标;
(3)已知点M是x轴上的动点,过点M作x的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点M,使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)待定系数法,代入点坐标进行秋求解。
(2)因为限定了BC为边,所以就只有两种情况,可以用平移法、中点坐标公式法,也可以用几何法等建立等量关系求出坐标即可。难度不大。
(3)因为△BCD的形状大小是确定的,可以发现△BCD为直角三角形。那么根据对应边成比例进行分类讨论即可得到结论。
【答案】解:(1)将点B(3,0),C(0,﹣3)分别代入中,得:,解得,
∴抛物线得函数关系为;
(2)由抛物线的表达式知,其对称轴为x1,
故设点P(1,m),
设点Q(x,0),
当以点P、Q、B、C为顶点,BC为边的四边形为平行四边形时,
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B,同样P(Q)向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q(P),
则,
解得,
故点P、Q的坐标分别为(1,﹣3)、(4,0)或(1,3)、(﹣2,0);
(3)当y=0时,,解得:,
∴A(﹣1,0),
又,
∴抛物线得顶点D得坐标为(1,﹣4),
∵C(0,﹣3)、B(3,0)、D(1,﹣4),
∴,
∴,
∴△BDC是直角三角形,且∠BCD=90°,
设点M得坐标(m,0),则点G得坐标为,
根据题意知:∠AMG=∠BCD=90°,
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似,需要满足条件:,
①当m<﹣1时,此时有:,
解得:,,都不符合m<﹣1,所以m<﹣1时无解;
②当﹣1<m≤3时,此时有:,
解得:,(不符合要求,舍去),
∴M()或M(0,0),
③当m>3时,此时有:或,
解得:(不符合要求,舍去)或(不符要求,舍去),
∴点M(6,0)或,
答:存在点M,使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似,点M的坐标为:M(0,0)或M(,0)或M(6,0)或M(,0).
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