方程与函数的概念与分类讨论思想

例1  关于x 的函数 y = (k – 2 )x² – (2k – 1)x + k 的图象与坐标轴有三个交点，则k 的取值范围是             。

例2 已知关于x 的方程kx²+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx²+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象确定实数a 的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

【考点】    抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】    （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx²+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x²+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到kx²+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

【点评】    本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．

二、练习题