【中考冲刺】几何综合题与截长补短法、参数法

【本期考点】圆、相似三角形、全等三角形、锐角三角函数、等边三角形、等腰三角形、截长补短法、参数法、勾股定理、线段的和差、角的和差。

【题目】

已知A、P、B、C 是⊙ O上的四个点。

（1）如图 1 ，若∠APC = ∠CPB = 60°，求证：PC - PB = PA ;

（2）如图 2 ，若 AB = AC ，PA =  5 ，sin∠BPC = ⁴/₅ ，求 PC – PB 的值。

【考点分析】

（1）截长补短法，同弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、线段的和差、角的和差。

（2）截长补短法，参数法，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念和性质，勾股定理、线段的和差、角的和差。

【解析】

（1）证明：在PC上取一点D，使PD=PB，连接BD 。

∵ PB=PD，∠BPC=60° ，

∴ △PDB为等边三角形，PB=BD，∠PBD=60° ，

∵∠ BPC = ∠BAC = 60° = ∠APC = ∠ABC ，

∴ 三角形ABC为等边三角形，

∴ AB = BC，∠ABC = 60° = ∠PBD ，

∴  ∠PBA = ∠DBC ，

在 △PBA 和△DBC 中

PB=BD，∠PBA = ∠DBC ，AB = BC，

∴  △PBA ≌  △DBC（SAS），

∴ PA = CD ，

∴ PC – PB = PC – PD = DC = PA 。

（2）过点 B 作 BE ⊥ AC 于点 E ，

∵ 弧 BC ，

∴ ∠BAC =∠BPC ，

∵  sin∠BAC = sin∠BPC = ⁴/₅ ，

∴ ^BE / _AB= ⁴/₅ ，

设 BE = 4x ， AB = 5x ，则AE = 3x ，