【绝对值的性质】
1. 非负性
|a|≥0;若|a|+|b|+|c|=0,则a=b=c=0;若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0.
2. 双解性
若|a|=|b|,则a-b=0或a+b=0;
若|x-a|=b,则x=a+b或x=a-b.
3. 可分性
|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|(b≠0).
绝对值实为距离,乘除运算可分离。
4. 多变性
|a|=|-a|=√a²=√(-a)²;
|a-b|=|b-a|=√(a-b)²=√(b-a)²;
|a²|=|a|²=|-a²|=a².
5. 不等性
若|x|<a(a>0),则-a<x<a;
若|x|>a(a>0),则x>a或x<-a;
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(三角不等式);
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(三角不等式).
6. 符号性
【例题剖析】
(1) |x+1|的最小值为____.
(2) |x+1|+|x-2|的最小值为____.
(3) |x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.
(4) 2|x+1|+|x-2|的最小值为____.
(5) |x+1|+2|x-2|的最小值为____.
(6) 1.5|x+1|+2.5|x-2|的最小值为____.
(7) 2.5|x+1|+1.5|x-2|的最小值为____.
(8) |x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值为____.
(9) 2|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值为____.
【题目解析】
(1) 当x+1=0,即x=-1时,|x+1|取得最小值0;
(2) 当-1≤x≤2时,|x+1|+|x-2|取得最小值3;
(3) 当x=2时,|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值4;
(4) 2|x+1|+|x-2|=|x+1|+|x+1|+|x-2|,
当x=-1时,2|x+1|+|x-2|取得最小值3;
(5) |x+1|+2|x-2|=|x+1|+|x-2|+|x-2|,
当x=2时,|x+1|+2|x-2|取得最小值3;
(8) 当2≤x≤3时,
|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值6.
(9)因为 2|x+1|+|x-2|+|x-3|
=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-3|,
所以当-1≤x≤2时,
|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值7.
【实战演练】
(1) |x+1|+|2x+4|的最小值为____;
(2) |2x+1|+|3x-6|的最小值为____;
(3) 若|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则a的值为____;
(4) 若|x+1|+|2x+a|≥3,则a的取值范围是____;
(5) 若|2x+1|+|ax-6|的最小值为4,则a的值为____.
【题目解析】
The End, Byebye!
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