二次函数图像与系数a,b,c之间的关系

二次函数的解析式y=ax^2+bx+c(a≠0)的系数a，b,c与图象的特征之间有什么关系？a决定着图像的开口，c决定着图像与y轴的交点位置，a与b共同决定着对称轴的位置，△=b^2-4ac决定着抛物线与x轴交点的个数。反之，亦然。以“数”释“形”，化“形”为“数”，数形结合，常常是解决二次函数图像信息题的通性通法。

例1 已知y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则下列代数式：①abc,②2a+b,③a+b+c,④a-b+c,⑤4a+2b+c,⑥b^2-4ac,其中大于0的是____________.

【解析】判断含有a,b,c的代数式时，需要化“数”为“形”，即将有序数对（自变量，因变量）转化到图像上的点，通过点的位置判断代数式的正负。

例2 已知y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,它的对称轴是x=-1,下列结论:①abc>0, ②2a+b=0, ③4a-2b+c>0, ④c-a>0,

⑤4ac-b^2>0, ⑥当x=-n^2-2时,y≥c, ⑦m(am+b)>a-b(m≠-1).其中正确的个数是_____.

【解析】④判断c-a的正负，对于这种类型的代数式，说明系数b与a有一定的数量关系，这种关系可以有对称轴得到，然后再根据点的位置判断。

【解析】⑦从“形”的角度，当x=-1时，y有最小值，为a-b+c,这也就是说当x=m(m≠1)时，对应的函数值am^2+bm+c>a-b+c。

【解析】⑦从“数”的角度，可以利用作差法比较两个代数式的大小。

知识点归纳

二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是令y=0时，一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的方程的解。