2022黔西南中考数学压轴题分析1：正方形半角模型与十字模型

本题选自2022年贵州黔西南中考数学几何压轴题，以正方形为背景，考查全等等知识。其中涉及正方形有关的半角模型与十字模型，比较典型，值得一看。

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【题目】

（2022·黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．

（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；

（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．

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【分析】

（1）根据SAS证明一对三角形全等即可得到结论。

（2）通过观察易得BE+DF=EF，这就是常见的正方形半角模型，利用旋转或者截长补短皆可证明结论。辅助线示例如下：

延长CB至点F′，使得BF′=DF，那么可以先证明△ADF≌△ABF′（SAS），再证明△AEF≌△AEF′（SAS）。

根据二次全等，即可得到结论。

已知∠EAF=45°，可以得到BE+DF=EF，

也可以根据BE+DF=EF，得到∠EAF=45°。证明方法类似。

（3）本题与前面两小题似乎并无关联。但是仍然存在45°，所以相关结论仍然成立。此时多了GH⊥AE，根据垂直，可以联想到正方形的十字模型，可以考虑构造直角三角形全等来得到结论。

如山兔，过点H作HM⊥BC，垂足为M，可以得到△ABE≌△AMH（AAS），那么就可以得到HM=EB，那么就可以根据（2）的结论，得到HM+DF=EF，又因为CH=√2HM，那么可以得到√2a/2+b=EF。

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【总结】

本题主要是以正方形为背景，考查全等等知识。更多正方形有关的模型，请关注《中考数学压轴题全解析》！