初中数学几何培优第四十六讲：巧用直线与圆的位置关系（二）

【知识解读】

1.直线和圆的位置关系：

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.

（1）直线与圆相交 ←→ 0≤d<r；

（2）直线与圆相切 ←→  d=r；

（3）直线与圆相离 ←→  d>r.

2.圆的切线：

（1）一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线；这个公共点叫做切点；

（2）两种判定：①若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；②经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

（3）判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：

一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；

二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；

三“证明”：证明直线是否经过半径的外端，并且与该半径的位置关系是否垂直。

切线的判定，添加辅助线是难点，通常从以下两个角度考虑：

①若所要证明的切线与圆有公共点，这时连接圆心，证明与半径垂直；

②若题干中没有交代所要证明的切线与圆有公共点，这时过圆心向该直线作垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径.简单地记为“有点连半径，证垂直；无点作垂直，证半径”。

（4）四条性质：

①圆心到切线的距离等于圆的半径

②圆的切线垂直于过切点的半径；

③经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；

④经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心.

应用切线的性质解题，经常需要“连接圆心和切点”，把相切转化为垂直，再把垂直转化为直角来解决问题.

【典型示范】

例2如图1-5-3，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若点E为

的中点，AD＝

，AC＝8，求AB和CE的长．

【提示】

“遇到切点连圆心”，这是应用切线的性质解题时常用的策略。

    对于（1），先利用圆的切线性质得OC⊥CD，再利用AD⊥CD，即得OC∥AD，然后根据平行线的判定及性质得到∠DAC=∠ACO，又∠OAC=∠ACO，故∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；

    对于（2），先根据△ADC∽△ACB，得到AB=10，再利用点E为

的中点及过点A作CE的垂线AF，利用三角函数的相关知识分别得到CF，EF的长，相加即得CE的长。

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拓展训练

    如图1-5-4，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．

（1）直接写出AE与BC的位置关系；

（2）求证：△BCG ∽△ACE；

（3）若∠F＝60°，GF＝1，求⊙O的半径长．

【提示】解题的关键是根据圆的性质寻找三角形相似的条件，根据相似三角形解决相应问题.