数学听谁说
数学萌萌说
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今天是2月14日情人节，首先祝福所有有爱的人节日快乐。同时今天也是寒假的最后一天，也祝福同学们明天开学快乐。
关于解三角形专题的研究文章萌萌分别在2016年、2017年、2018年、2019、2021年写了5个版本。这次的2023年是我写的第6版，希望对迎萌萌说的读者们有所帮助！
下图是2019-2022年的上海中考一模18-25题中出现解三角形的部分（红色）：
不难发现发现，解三角形专题一直是压轴题的常考专题，一模22题的必考专题。
并且众所周知，中考数学的难点在平面几何，而平面几何的难点在同学们对三角形的认识。而相似模型和解三角形专题是两种认识三角形的重要方式。
萌萌老师认为解三角形是更接近图形本质的方法，这种题型也会沿用到高中。
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正文共：3615字 65图
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01
引入
我们在初三第一学期已经学习了如何解直角三角形，解直角三角形所需的条件与确定直角三角形或直角三角形全等判定定理的条件是一致的。即除了直角外，再需知道2个条件（至少有个边条件），便可解直角三角形。
当我们掌握了如何解直角三角形后，我们进一步分析一般三角形的求解方法。可以发现可以将一般三角形通过作高化归为两个直角三角形进行求解。
解直角三角形需要1个直角条件+2个边角条件（至少有个边条件），那解一般三角形至少需要多少个边角条件呢？
大胆猜测：解一般三角形所需的条件与确定一般三角形或一般三角形全等判定定理的条件是一致的。即需知道3个条件（至少有个边条件），便可解一般三角形。（后续会进行进一步解析）
02
概念与原则
通过解一般三角形，我们可以求出三角形内边的长度和内角的三角比。
在解一般三角形时，通常都需要添高，化归成直角三角形，进行求解。
记住添线原则：尽量不要破坏已知角和所求角！
03
解一般三角形常见题型
对于解一般三角形，常见题型有如下八种：
SAS
最常见的条件组合之一，在符合原则的基础上添线即可！
AAS
最常见的条件组合之一，在符合原则的基础上添线即可！
【举例】
可以看到此题用了S.A.S与A.A.S进行解三角形，添高都是在符合原则的前提下进行。
ASA
最常见的条件组合之一，在符合原则的基础上添线即可！这题情况下，作高会破坏唯一的已知边，故需设新元进行计算。
萌萌推荐：先计算两已知角正切值分子的最小公倍数m，再设此高为m份进行后续计算。（比如上图中，设高AG为6份参与计算）
【举例】
可以看到此题在解三角形B'DM时，就用到ASA，两已知角正切值的分子分别为3和5，最小公倍数为15，故可设高为15份进行后续计算。
SSS
此类条件组合并不常见，在符合添高原则的基础上，为避免无法判断高在形内或是在形外的情况，一般建议作最长边上的高。再借助勾股定理，列出方程进行计算。
这里补充一下余弦定理，学有余力的同学，可以把公式记一下，提升此类题型的解题效率。
【举例】
在条件组合为S.S.S时，两种方法大家都可以试试。
SSA
此类条件组合并不少见，在符合添高原则的基础上，我们比较下两种解题方案：作未知边上的高：无需设元（绿色）；作已知边上的高：需要设元（紫色）。
总体解题难度看似乎前者比较低，但是这个方法也有弊端。
S.S.A条件下，有时三角形不一定是确定的，比如上图中，AC长度为
纵观两种方案，我们发现方案二不漏解的原因是，在算AH的长时，其实应该是
此题在解三角形ABD时，条件组合为S.S.A，已知角的对边可能为最短边，作未知边上的高进行解三角形，设未知边为新元，列式计算，得两解。
此题在解三角形BEF时，条件组合为S.S.A，已知∠BED是钝角，三角形种类已确定，无需分类讨论。
三角形ABC的边角条件中，算上含未知数x的边角条件，共知道4个条件时，解三角形ABC，便可求出未知数x。
当边角条件中未知数的个数变为两个时，算上含未知数的边角条件，共知道4个条件时，解三角形ABC，可列出二元方程，在符合函数定义的时候，可求得函数解析式。
【举例】
通过解三角形ACD，将x与y放入同一个等式中，从而求出解析式。
通过解三角形ABD，注意三角比条件中也可以含未知数，将x与y放入同一个等式中，从而求出解析式。
钝角情况
在解三角形过程中，时常会出现已知角为钝角的情况，此时需要将钝角化归为它的邻补角/外角，进行解三角形，即需要画形外高。
【举例】
题目中的条件围绕在三角形AOC上，知道AO和AC，并且知道∠AOC=120°，S.S.A的条件组合，且三角形种类确定，是钝角三角形，无需分类讨论。
以未知边CO作高，求解过程如上，此类题的难点都不是如何解三角形，而是判断哪些三角形可解，这个能力也反映出同学认识三角形的能力水平的高低差别。
直角判定
在解三角形过程中，有种特殊情况，就是这个三角形本身是直角三角形，需要你求得直角条件。除了使用勾股定理逆定理外，还有不少其他求解方法。
以一个锐角的两邻边的比等于此角余弦值为例，具体解法如下：
通过对解三角形的认识，我们可以求解大部分一般三角形，对于一些含特殊角的三角形，建议大家将其边角条件作为结论识记下来，从而提高我们的识图能力和解题效率。
04
解特殊三角形常见题型
一些含特殊角的三角形中，我们重点讲解以下八种题型。
30°与45°的半角三角比
求解30°和45°的半角，可以以此角的顶点出发，将直角边延长斜边的长度，构造含半角的直角三角形，进行求解。
含30°的等腰三角形
30°角为顶角或底角，此类三角形三边比确定。
【举例】
345直角三角形
三边关系为3：4：5的直角三角形，是考频最高的三角形，其两个锐角约为37°和53°，为了方便后续讨论，我们将这两个角看作为37°和53°进行分析。
注意：这两个角度值我们主要是辅助思考，放在推理过程中使用，切记不要写在解题过程中！！
37°与53°的半角三角比
求解37°和53°的半角，可以以此角的顶点出发，将直角边延长斜边的长度，构造含半角的直角三角形，进行求解。两半角三角比分别为⅓和½。
任意锐角的半角三角比
求解α的半角，可以以此角的顶点出发，将直角边延长斜边的长度，构造含半角的直角三角形，进行求解。半角三角比公式如下图：
37°的倍角三角比
求解37°的倍角，可以在角的相邻直角边上，构造以斜边为底边的等腰三角形，进行求解。
初识倍角三角比
在求解α的倍角，可以在角的相邻直角边上，构造以斜边为底边的等腰三角形，进行求解。倍角三角比公式如下图：
【举例】
通过分析发现∠DEC是37°角的倍角，又倍角结论可以加速此题的推理过程。
含37°的等腰三角形
37°角可以作为顶角、底角或是顶角的补角，此时三角形的三边比是确定的。
含53°的等腰三角形
53°角可以作为顶角、底角或是顶角的补角，此时三角形的三边比是确定的。
等腰三角形的三角比
通过等腰三角形的三边关系，我们可以求解其三角比大小。
【举例】
通过分析发现三角形DBH是含53°的等腰三角形，由其边角关系，可以快速进行问题解答。
黄金三角形相关三角比
36°角为顶角的等腰三角形，各个内角三角比值都可求的，结论如下：
05
总结
解三角形的能力高低，某种意义上反映了初中生求解几何题的能力差距。学会这个专题可以大大提升做题的稳定性，萌萌老师时常告诉大家，如果这题你实在想不到什么优美的解法，那就两眼一闭，解三角形吧！
写在最后
斗志不是以打倒对手为目的的好斗之心，而是为了自己的生存而拼命努力的精神，这才是我们所应具备的品质。
坚持比努力更重要，勇敢的少年们，加油！
作者：徐艺晨
2023年2月14日
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13年教育工作者，专注初中数学教学，
虽前路不易，但初心不改
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