始于函数，源于面积，终于构造

——再议面积法和构造法

王 桥

  自上周推出《一张中考试卷中可能有多少个学生迈不过去的坑？》一文后，许多老师对郑州二模的22题，提供了更加简捷的解法。

【原题呈现】

例1、（2023郑州二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点E从点A出发沿AD向点D运动，连接BE，以BE为边在其右侧作正方形BEFG，EF与CD交于点H。

（1）在点D的运动过程中，点G的位置也随之改变，则点G始终在直线DC上吗？如果在，请给出证明；如果不再，请说明理由；

（2）当点E在AD边上运动时，△BHG的面积如何变化？请写出研究过程。

【解法1】请看“评分参考”：——构造函数法

【解法2】（重点是第（2）问）——面积法：

  评注：方法1通过相似三角形构造方程，即可用含x（AE的长）的代数式表示DH，进而用含x的代数式表示HG，然后直接代入面积公式，进而求解；

  方法2简单直接，想必没有想到这种方法的同学和老师也和老王一样一下子被这种方法给震惊住了吧？——为什么可以用这种方法？这种方法是怎么想到的？这种方法具不具有普遍意义？什么时候可以用这种方法呢？......

  其实，这里也有个小结论：如图，根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式，若P是平行四边形ABCD的边AD上任意一点，则△PCD的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半

  是不是发现，有时候偶尔用用不太常用的小学的知识，也很奏效啊。譬如例2.

例2、（2021泸州）如图6，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是________．——选自《春季攻势》第16讲《辅助线秘籍》

【分析】题目中的所有点都是定点，则所有线段也必为定线段。其实这道题目和例1本来就是面积问题。欲求△AGF的面积，如果直接求，需求出△AGF的任意边及边上的高。虽然AF的长好求，但AF边上的高不好求。当然，AG、GF的长如果求出来，他们边上的高也不好求。如果能够想到上面的性质，显然，△ABE的面积等于正方形ABCD的面积的一半等于8，只需求出线段GF与线段GB的比值即可。

把不熟悉的图形转化为熟悉的图形，是一种重要的思想方法（详见《冲刺十招》第6招“曲径通幽需'转化’”）。为此，我们可以尝试作下面的辅助线：

我们不妨借助图1进行求解。

当然，这道题目运用“建系法”也很简单，这里不再赘述。

这种方法还可以进一步再推广一下，即：如图，若P为平行四边形内部任意一点，

我们再看例3：

例3、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为BC的中点.将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则△CDF的面积为(      )

A、3.6    B、4.32    C、5.4    D、5.76——选自《冲刺十招》之第2招“无中生有话'构造’”

【解析】由折叠的性质知，AB=AF=4，BE=FE=3，∠ABE=∠AFE=90°，则AE=5.如图6，连接BF，显然AE是BF的中垂线，则“筝形”ABEF的面积等于2倍的△ABE的面积，又等于AE与BF乘积的一半，即：

——注;以上解法选自《冲刺十招》

既然面积法如此神奇，那么例1的第一种方法——构造函数法就不用研究了吗？非也！请看例4：

例4.如图1，已知正方形ABCD中，AB=4，BE=1，点F为BC上一动点，把线段FE绕着点F顺时针旋转90°得到线段FG，则AG的最小值为       .——选自《冲刺十招》第 1招“绝境逢生用'特值’”

方法2（特殊值法）：常规解法虽然严谨，但是这种方法究竟是怎么想到的呢？其实，题目的关键是判断动点G的运动轨迹类型——是“直线型”轨迹还是“圆弧型”轨迹.为此，我们只需找出三个特殊位置，即可判断动点G的轨迹类型.

既然动点F是BC上一动点，我们不妨先从点F的几个特殊位置出发，来判断点G的位置.

特殊位置1：如图3，当动点F和B重合时，则点G在BC上的G₁处.此时EB（F）=B（F）G₁=1.

特殊位置2：如图4，当动点F运动到BF=3，FC=1时，点G恰好落在CD上，此时FB=CG=AE=3，EB=FC=GD=1.

任意位置3：如图5，当点F为BC边上任意一点时，点G的位置恰好在G₁G₂所在的直线上.则点G的轨迹为“直线型”.

如图6，判断出动点G的轨迹为“直线型”后，直接连接G₁G₂，再连接AC交G₁G₂于点G，则AG最短，计算同上.

  上面的解法启示是运用“瓜豆原理”，通过构造“手拉手模型”或者运用“极端化思想”进行的解题。那么这道题怎么会和“构造函数”扯得上关系呢？且看深得老王真传的苑家睿同学提供的解法（老王刚刚给他强调过构造函数法和斜化正策略）：

  苑家睿同学的解法貌似“简单粗暴”，实则是不矫揉做作的水到渠成之“构造函数法”。

一道题目，由于切入点不同，可能得到不同的解法。这就是数学上殊途同归的魅力。对于同一道题目来说，可能有的解法简捷，有的解法略显繁琐。但是这些解法我们很难说孰优孰劣。对本道题目最简捷的解法在解决另一道题目时可能就会繁琐些，对于本道题目略显繁琐些的解法可能在解决另一道题目时有可能比较简单。学习数学，只有不断学习这些从不同角度出发的不同的奥妙无穷的解法，才能体会到从不同的解法里面找到最优解的乐趣。从茫茫题海中找到解决问题的通性通法，不仅仅是课程标准要考查的基本目标，也是同学们一次次地经历了发现问题、提出问题 、分析问题、解决问题的过程，并逐渐提升同学们数学素养的过程。

  学生的每一种解法都值得鼓励与肯定！

正所谓：

横看成岭侧成峰，

远近高低各不同；

不识庐山真面目，

只缘身在此题中。