【母题】如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF.结论4：AH=AB，△AEF的面积=1/2*EF*AH， S△AEB+S△AFD=S△AEF.结论5：当点E为AB中点时，点F为CD的三等分点（CF=2DF）；反之，当点F为CD中点时，点E为AB的三等分点（CE=2BE）.结论6：当BE=DF时，EF最小，S△AEF最小，S△CEF最大.
【简析】如图，作△AEF的外接圆O，P为EF的中点，连接OA、OE、OF、OP、CP.因为∠EAF=45°，所以∠EOF=90°.设PE=PF=PC=PO=x，则有OA=OE=OF=√2x.OA+OP+PC=(2+√2)x，当A、O、P、C四点共线时，x的值最小，从而S△AEF=1/2EF*AB=AB*x最小，进而S△CEF=S正方形-2S△AEF的值最大.【小结】在上图中有这样几种线段：正方形的边长，BE、CE、DF、CF、AE、AF、EF，上述八种线段知二推六，核心是利用Rt△FCE建立等量关系。【母题追问1】在母题基础上，连结BD，分别交AE、AF于点M、N.结论8：△AMN∽△AFE∽△BME∽△DFN∽△BAN∽△DMA.结论9：AB^2=BN*DM，NA^2=NM*NB，MA^2=MN*MD.结论10：如图，连结AC，则有△AND∽△AEC；△ACF∽△ABM.结论11：EF=√2MN，CE=√2DN，CF=√2BM，S△AEF=2S△AMN.结论12：CE*CF=2BE*DF，BN-DN=√2BE，DM-BM=√2DF.【简析】简要证明BN-DN=√2BE，思路如下：因为△AND∽△AEC，所以可证CE=√2DN，因为BD=√2（BE+CE）=√2BE+√2CE=√2BE+2DN，所以BD-2DN=2BE，即BN-DN=√2BE，同法可证DM-BM=√2DF.结论13：NE=NC=NA，△ANE为等腰直角三角形；△AMF为等腰直角三角形.结论14：点A、B、E、N四点共圆，点A、M、F、D四点共圆，点M、E、C、F、N五点共圆（亦即其中任意四点共圆）.【母题变式】如图，当点E、F分别在直线BC、CD上时，也可转化为母题图形再推出有关线段的数量关系.即EF=DF-BE或EF=BE-DF.【母题同源1】如图，△ABC是等边三角形，BD=CD，且∠BDC=120°，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF=60°. 结论：EF=BE+CF.当点E、F在延长线上时，会有什么结论呢？好奇的你自己探究一下吧！
【母题同源2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=1/2∠BAD，结论：EF=BE+DF.当点E、F在延长线上时，会有什么结论呢？好奇的你自己探究一下吧！
练习题训练
【1】如图，在正方形ABCD中，求∠AFE的度数.
【2】如图，正方形ABCD的边长为1，△ECF的周长为2，求△AEF面积最小值.
【3】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=45°，若BD=1，CE=3，则DE=_______；AD=_______；AE=_______.
【4】如图，在等边三角形ABC中，∠DAE=30°，若BD=1，CE=2，则DE=_______.
【5】如图，求线段DE的长度.
【6】如图，在矩形ABCD中，求DF.
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