为什么要在初中阶段学习锐角三角函数？
先来看看这块知识有多么“无趣”：
只有锐角三角函数，没有钝角、优角、任意角，更没有负角；而且定义是从直角三角形的锐角对边、邻边、斜边之比引申出的概念，前置知识模块既没有弧度制也没有角的第二定义更遑论单位圆；而且所谓的特殊角只有三个：30,45和60度，正好凑齐一副常见的三角板。
就这样的一块连“Demo版”都算不上的三角函数模块，究竟缘何要出现在初中数学教学中，而且作为压轴章节？知识铺开的少，题目自然不能出太难，化简求值停留在同角关系，诱导公式只涉及余角变换，连解三角形都只有解直角三角形的知二推三，正弦定理余弦定理都不曾涉及。
学生会感觉到“多余”，明明三角板那种特殊三角形性质记得那么熟练，边长比也都清楚，相似也都会用，何苦写三角函数那些看不顺眼的字母？
在这里，我谈谈我的认识，首先上结论：我认为，锐角三角函数不仅仅是初中必须接触的内容，而且是集大成之处，压轴地位不可动摇，虽然涉及到的题目一般不难，但是思维含量一点都不轻松。
三角函数理应具备几何特性，我称之为“三角性”，这是初中教材之所以采用直角三角形边长比的定义方式的缘由。本质在于研究三角形问题的时候，发现相似三角性边长之比恒定，进而引申到这种比值的固定与角度之间存在某种联系，为了研究特定角度的性质，从角的一边向另一边做垂线，形成直角三角形，进而发现了6个比值，从而引申出了三角函数的概念。
这一特性最终指向了几何类题目的代数化，就我个人理解而言，如果你用三角函数的方法来解决几何问题，就跟用向量法、解析法等方式有异曲同工的意思，都是将一些几何关系转化为表达式的计算。
这一部分可以认为是三角函数“承上”的作用，承接相似，承接初中阶段对于几何图形的研究。
另一方面，之所以叫“三角函数”这个名字，自然是具备一定的函数性的。但是初中阶段并不涉及到诸如这种真正的三角“函数”的性质探讨，更不会接触它的函数图像。那如何体现其函数性呢？
我认为这需要从最开始的定义出发。我们发现直角三角形某锐角的特定边长比值是不随三角形边长改变而改变的，只受制于角度本身的大小。于是这个锐角角度的值就跟这6个比值分别形成了一一对应关系，只要锐角角度确定，总有唯一确定的比值与之对应，这就扣上了函数的定义。
而这种函数性就带来了比如同名不同角和同角不同名的大小关系，也就是增减性一类的问题。受限于锐角这个基础定义域，其实初中阶段对于函数性的探索仅仅停留在了解的层面，并没有深入展开。这一部分可以认为是“启下”，也就是打开高中对于函数性的深入探索之门。
除上述两种重要特性之外，我认为三角函数还具备一个在初中阶段更为“本质”和带有鲜明“初中”标签的性质——数值性。
能否让学生意识到,,这样的表达其实是一个数字，是有一定难度的。
进一步，能否让学生接受，，其实可以当做一道题的最终答案，也是不容易的。
但其实，这种表达只是一种没有算到底的数字表达方式。而我们所接触过的没有算到底的数字表达，很多。比如，就没有算到底。更本质一点，哪怕是这样学生已经用的很熟悉的分数，都没有算到底。根式可以认为是一个开方运算，分数可以认为是一个除法，这些都没有算到底，也无需算到底，数学中完全接受这样的表达。
有学生会觉得，到底是几呢，算不出来，不会算，就产生了这不是一个数的错觉。但是你就会算了么？会不会算，跟它是不是一个数字，根本是两码事。而这种认识，还颇有证明存在未必要真的举出实例这种数学思辨的味道。
恰恰是这种数值性，我认为非常深刻而本质地揭示了数学的整个逻辑线索——层层抽象。从只认识自然数，只能用手指数数开始，先抽象出一些无法用手指数的大数的表达，进一步抽象出除不尽的分数的表达，进一步抽象出负数，以此扩充对于数的认识。进一步，可以用一个字母表示任意数字，这就从实实在在的数抽象到了更上位的层次。而字母之间的运算遵循代数式的运算法则，代数式与代数式之间又存在一些关系，进而出现方程、不等式这些代数概念。从字母表示数的本质出发，进一步发现了函数这种能够描述两个变量关系的概念。……数学的发展始终在不断地抽象，越来越抽象，越来越上位，也就越来越本质。
三角函数的这些多重特性，淋漓尽致地体现了数学的逻辑脉络。所以我说，这部分内容重要且本质，是给学生提升思维广度的一个绝佳试炼场。
这里其实有一个非常有趣的思考题：
“既然这个东西是个数，那到底是什么数？是有理数还是无理数？读者朋友可以把思考写在留言中，这个问题如果能给学生讲通透，那学生的数学理解力将会有一个质的飞跃。
”
联系客服
