构字母相似处理三倍角问题

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

抛物线背景下二倍角问题

原题呈现

在后世，立夏还有尝新等节日活动。如苏州有“立夏见三新”之谚，三新为樱桃、青梅、麦子，用以祭祖。在常熟，尝新的食物更为丰盛，有“九荤十三素”之说，九荤为鲫、咸蛋、螺鰤。

抛物线背景下三倍角问题

原题呈现

思路分析

基于确定性分析，根据题意易求A(-1,0)，C(0,3)故tan∠ACO=1/3，所以∠ACO为定角，则∠PCO确定，于是破解本题的关键是构造正切值为1/3的角的三倍角，并求出三倍角的正切值。

如上左图，在CO上取点E使EC=EA，设∠ACO=α，则∠AEO=2α，如上右图，在EO上取点F使∠EAF=α，于是有∠AFO=3α.

易证△AFE∽△CFA，为便于计算不妨设AO=3，则CO=9，易求AE=CE=5，设EF=a，则OF=4-a，勾股定理得：AF²=(4-a)²+3²，由△AFE∽△CFA，得AF²=a(5+a)，于是可得方程(4-a)²+3²=a(5+a)，解得a=25/13。所以OF=27/13，则tan∠AFO=13/9。

因为OC=3，且tan∠OCP=13/9，故在x轴正半轴取点E，使OE=13/3，连接CE与抛物线交于点P，求出直线CE的解析式与抛物线联立解方程即可求出点P坐标.

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