人教版 | 初二春 · 函数基础知识和综合应用

李仙儿课堂开课啦

跟着李仙儿 数学飞天

李仙儿寄语：

这一讲开始

你将接触到初中的又一个新的领域

学习数学就是为了研究量之间的关系

就比如我爱你有多深

这个要怎么表示？

再比如过了3s之后

我对你的爱是否会因为时间发生改变

这如何得知？

这一节课 给你答案哦！

敲重点啦！

1.掌握变量与常量的关系，尤其是动点问题的函数图像。

2.函数的表示方法，像列表法，图像法和解析式法，要牢牢掌握其题型。

十道函数 九道难？

如何快速攻克？

先来掌握李仙儿老师为我们整理的

函数重点 难点 易错点

以及相关技巧吧！

1.函数的图像

【知识点一】变量之间的关系

1.常量：在某一变化过程中，取值始终保持不变的量叫做常量。

例：每周的天数，圆的圆周率，李仙儿老师的“年龄”

2.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。

例：大气的温度，你的体重，S=πR²中圆的面积

【知识点二】函数

1. 函数

函数：在某一变化过程中，例如有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，其中x是自变量，y是因变量。

注意：

（1）函数不是数，它本质是指一个变化过程中两个变量之间的关系

（2）一个自变量只能对应一个因变量

2.函数关系式： 

对于函数关系式的书写，一般因变量写在等号的左边，自变量写在等号的右边。

（顺序性表明关系）

【知识点三】函数中的对应关系

1.x自变量对应原则：

对于每一个给定的x值，y有一个唯一确定的值与之对应，否则y就不是x的函数。（大臣对皇上）

例：：y²=x，若 x=4，就有两个 y（±2）和它对应

2. y 因变量对应原则：

对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应。（皇上对大臣）

例：y=（x-3）²中，x=2 时，y=1；x=4 时，y=1.

常见反例：y²、|y|

2.函数的表示方法

【知识点一】列表法

通过列表表示函数的方法

解题思路：

① 一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量 

②从表格中获取有效信息，发现因变量随自变量变化存在一定规律

（利用找规律 探索归纳关系式）

【例题】（2019 春·龙岗区期末）某公交车每月的支出费用为 4000 元，每月的乘车 人数 x（人）与每月利润（利润=收入费用-支出费用）y（元）的变化关系如下表所 示（每位乘客的公交票价是固定不变的）:

（1）在这个变化过程中，每月乘车人数x 是自变量，每月利润 y是因变量；

（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；

【知识点二】图像法

通过图像更加直观地看出函数的变化过程

常见考点：结合列表法综合考察

【例题】小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：00 先出发去学校， 走了一段后，在途中停下吃了早晨，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华 离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程 s（米）和小明 所用时间 t（分钟）的关系图．则下列说法中正确的个数是（ C ）

① 小明吃早晨用时 5 分钟；② 小华到学校的平均速度是 240 米/分；③ 小明跑步的平均速度是 100 米/分；④ 小华到学校的时间是 7：05．

A.  1                 B.  2 

C.   3                D．4

【知识点三】解析法

 用数学的式子表示函数的方法

同义词：关系式、表达式、解析式

解题思路：利用常见的数学公式，带入相应的自变量、因变量即可

注意：要说明自变量取值范围

【例题】（2016 春·深圳校级期中）如图所示，圆柱的高是 4 厘米，当圆柱底面半径 r（cm）变化时，圆柱的体积 V（cm3 ）也随之变化

（1）在这个变化过程中，自变量是底面半径r ，因变量是圆柱的体积V

（2）圆柱的体积 V 与底面半径 r 的关系式是V=4Πr²

（3）当圆柱的底面半径由 2 变化到 8 时，圆柱的体积由 16Πcm³ 变化到256Πcm³

3.正比例函数

【知识点一】正比例函数的定义

正比例函数：形如y=kx（k为常数且k≠0），x取值为全体实数；

其中k称之为比例系数，即为因变量和自变量的比值；

考点：根据定义进行含参计算（k≠0，x的指数为1）；

【知识点二】正比例函数的图像

如图正比例函数的图像必过原点（0，0）

图像的走向（如图）

k＞0   经过一、三象限

k＜0   经过二、四象限

【知识点三】正比例函数的性质

1.增减性

k＞0，y随x的增大而增大

k＜0，y随x的增大而减小

2.倾斜度

|k|越大，直线越陡

4.一次函数

【知识点一】一次函数的定义

1.一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数且k≠0），x取值为全体实数；

考点：根据定义进行含参计算（k≠0，x的指数为1）；

【知识点二】一次函数的图像

1.如图正比例函数的图像必过

（0，b）其中b称之为截距，即与y轴的交点；

即与x轴的交点；

2.图像的走向（如图）

k＞0，b＞0   经过一、二、三象限

k＞0，b＜0   经过一、三、四象限

k＜0 ，b＞0  经过一、二、四象限

k＜0 ，b＜0  经过二、三、四象限

5.一次函数系数与相关性质

【知识点一】一次函数与系数的关系

k＞0，b＞0   经过一、二、三象限

k＞0，b＜0   经过一、三、四象限

k＜0 ，b＞0  经过一、二、四象限

k＜0 ，b＜0  经过二、三、四象限

结合含参问题考察具体求值

【知识点二】待定系数法求一次函数解析式

前提：已知两个点坐标求解一次函数解析式

方法一：代入法

将点坐标代入y=kx+b利用两个方程，二元一次方程组求解；

方法二：快速求k法

求得k之后再代入一个点坐标求解b

END

一次函数是学习函数的基础

我们以后还会学到很多函数

都会用一次函数进行相关的计算

尤其是二次函数

学不好一次函数

那二次函数学起来就会更困难

所以我们尽最大努力在这部分下点功夫

多花点时间 把它拿下！

偷偷说

有想看李仙儿老师变魔术的同学们

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