看不见的“手拉手”

王  桥

运用“手拉手模型”的前提是能够识别出题目中的“手拉手模型”。但是，还有一类题目，题目中本来是没有“手拉手”的，这个时候则需要我们人为的构造出“手拉手”来解决。

首先，《沙场秋点兵》（北师版）第2讲“特殊四边形中的动态问题”一讲，例2的第（2）（3）两道题，都要用到“化动为静”的策略，都要用到“构造手拉手”的策略。

例1、（2019宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为    ．

   关于例1，我们在“再议'种瓜得瓜种豆得豆’”一文中做过如下讲解： 

分析：此题点C为定点，点G为动点，求CG的最小值，首先要判断动点G的轨迹类型，但动点G的轨迹不好直接判断。我们不妨看下动点G 是怎样形成的。动点G是正△EFG的一个顶点，而正△EFG中有一个定点E，而F为动点，即可以把点F看做主动点，则点G为从动点。符合“瓜豆原理”第三级的“定角定比”问题——∠FEG=60°，且EF=EG。因为点F的在边AB上运动，即点F的运动轨迹为直线，则点G的运动轨迹也为直线。显然，此问题为最短路径之——“点线距离”问题——垂线段最短。那么，点G 究竟在什么样的直线上运动呢？继续采用“极端化思想”，找特殊点：起点和终点。如图15，当点F和B重合时，以BE为边作正△BEG₁；当点F和点A重合时，以AE为边作正△AEG₂，连接G₁G₂，则点G的轨迹为线段G₁G₂，过点C作CG⊥G₁G₂于点G，求出CG即可。

如图16，易证明△FBE≌△GG₁E，则∠EG₁G=90°，∵CG⊥G₁G₂，∴CG∥EG₁，过点E作EM⊥CG于点M，则四边形G₁EMG为矩形，则∠G₁EM=90°，∴∠MEC=30°。则CG=CM+GM=1/2EC+G₁E=3/2+1=5/2。

其实，例1的本质就是构造了一对“手拉手全等模型”！即：以BE为边作正△BG₁E，则正△BEG₁和正△FEG手拉手！

咱们再看下例2：

例2、（2018呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=√2HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为              ．

分析：我们先根据题目中的要求，把图形补充完整。如图：

是不是看到了一个“手拉手模型”？我们不妨证明一下：

易知△EHA是等腰直角三角形，且HE=HA，∠EHA=90°。易证明△CBE≌△DAM，则BE=AM，则易知BA=EM=DA。在△EHM和△AHD中：

∴△EHM≌△AHD，则HM=HD，∠EHM=∠AHD，则∠EHA=∠MHD=90°，即△DHM是等腰直角三角形（老王秘诀：全等旋转出等腰）。很显然，第②个结论成立；

再看①，当∠DHC=60°时，∵∠HCD=45°，则∠CDH=75°，则∠HDA=15°，则∠ADM=30°，∴DM=2AM=2BE，结论①成立；

∵∠CHM=∠HAM+∠AMH，且∠HAM=135°，显然∠CHM>135°，结论③成立；

综上，①②③均成立！

《沙场秋点兵》（人教版）第7讲“全等变换之——旋转”，也有几道这样需要构造“手拉手”的好题。

例3、如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD=        ；

解析：如图。以AD为直角边，构造等腰直角△DAE，连接CE，则相当于构造了等腰直角△EAD和等腰直角△CAB手拉手，则易证△EAC≌△DAB，则BD=CE。∵∠EDA=∠ADC=45°，则∠EDC=90°，且AD=AE=4，CD=3，∴BD=CE=5。

例4、（2020滨州）如图2，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2和4，则正方形ABCD的面积为________．

如图，构造等腰直角△PBE，连接AC，则等腰直角△ABC和等腰直角△PBE手拉手，则易证明△ABP≌△CBE，则CE=PA=2√3。∵BE=BP=√2，则PE=2。∵PC=4，则PC²=PE²+EC²，即∠PEC=90°，∴∠CEB=135°。

作BF⊥CE交CE的延长线与F，则BF=EF=1，∴CF=2√3+1，在Rt△CBF中，则BC²=BF²+CF²=1+（2√3+1）²=14+4√3。

下面这两道题目，可以练练：

1、如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一动点，连接CD，作DE⊥CD，且DE=CD，连接CE、AE，求证：AE∥BC。

2、如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，且∠ADB=75°，BD=6，AD=5√2，求CD的长。

       胸中有模型，胜似百万兵！但老王也一直反对死记硬背一些套路和模型！

   我们提倡在学习过程中善于发现规律、总结规律，万法归宗、多题归一。我们不仅仅要拥有一双识别模型的慧眼，还要具备“构造模型”的“建模”能力。

关于“手拉手模型”的相关话题，请参阅《冲刺十招》第5讲“胸有成竹会'建模’”、《沙场秋点兵》“相似三角形的九大模型”、《春季攻势》“一线三等角和手拉手”等内容；关于“构造”的相关话题，请参阅《冲刺十招》第2讲“无中生有话'构造’”；同时，也可参阅“老王的数学”公众号“手拉手”相关话题！

《沙场秋点兵》好题不断，需要我们用心去品味。但由于精力所限，近期推出的《沙场秋点兵》答案虽已经上传到各群里，请读者自行下载保存，但肯定谬误很多。因精力所限，题目所提供参考答案大多来自网上。如果时间允许，在后面的《沙场秋点兵》的讲解过程中，会逐渐把各讲的典型题目的解法推送到公众号上。若精力再允许，从本周开始，配合北师大版的《沙场秋点兵》视频讲解将于每周在微师平台上推送，欢迎围观。

本周开讲《沙场秋点兵》（北师版）第一讲“特殊四边形的折叠”。

视频链接：https://m.weishi100.com/mweb/single/?id=7377225