简评上海市2008年数学高考题
撰文/大罕
上海市2008年数学高考题总体来说是平和的，但平和中有亮点。平和指题目不偏不怪、源于教材而不拘泥于教材、坡度平缓，亮点指题目在应用和创新上有所突破。它具有如下特点：
⑴起点低，终点高。第1题到第6题，起点很低，只需要套用相关公式或略加变形即可。而压轴题（第21题）的第⑶小题难度很大，要在短时间内做出此题确非易事。
⑵难度布局合理。全卷150分，其中A级题（最基础题）占24分，B级题（基础题）占74分，C级题（较难题）占31分，D级题（很难题）占8分。
⑶重视基础强化能力。例如第7题求从6个点中任取3个可得到三角形的概率，既需要求概率的基础知识又需要数形结合的能力。又如，第18题正弦函数、余弦函数图像与某直线分别交于两点，计算线段长和最大值，这一情景既熟悉又陌生，解题时要在理解题意的前提下运用基础知识，进行分析和综合。
⑷应用题较为自然。第10题海岛测量把立体几何与解析几何有机地结合在一起，第17题住宅小区情景下计算扇形与现实生活较为贴切。
⑸压轴题亮点鲜活。第11题首先是立意新颖。解方程可以理解为求两条曲线的交点的横坐标，而此题是将方程两边同除以x后得到的两条曲线，这更有新鲜感。其次是理解题意上给考生设置了一个不大不小的障碍。最后在解题理念上更需要结合图像进行慎密的理性的思维。第21题给出的是一个具有周期性递增的非单调数列，很是新颖。第2小题已展现难度，难在把握此数列的规律，而第3小题难度最大，很难在短时间内明了数列的奥妙和玄机。
上海市2008年数学高考题给我们如下启示：
⑴重视教材的使用，从教材中知识点中挖掘能力点。那种教材内容一带而过补充习题铺天盖地的做法是不可取的。
⑵重视基础的掌握。对于教材中的概念、公式和定理，一定要烂熟于心。常用公式的变招也应予以足够的注意。例如二倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α的变招是1+cos2α=2cos2α 和1-cos2α=2sin2α-1，既可以用来降次又可以用来升次。
⑶重视数学能力和数学理念的培养。
一是认知再现能力。解决数学问题时大量的是认知再现的过程。从问题出发，有选择地在头脑中再现有关知识和方法，从而逐步地解决问题。例如第19题，第1小题只需令f(x)=3，解这个简单的对数方程，考虑对数的真数为正，故舍去一根留下另一个根。第2小题首先直译接已知不等式，有
当t∈[1,2]时，2 t (22 t -1/22t)+m(2t -1/2t) ≥0恒成立，
再将此不等式予以变形，得到
m(22t -1) ≥-(2 4t -1)，
∵22t -1>0，
∴m≥-(22t +1)当t∈[1,2]时恒成立，
欲使以上不等式恒成立，就需要考查右边函数的值域，
由1≤t≤2可得5≤22t≤17,
因此当t∈[1,2]时，-(2 2t +1) ∈[-17,-5]，
故t的取值范围是[-5,+∞)。
二是数形结合的数学理念。本套试题有十道题（第2,7,8,10,11,13,15,18,19,20）需用数形结合的方法加以解决，可见这一理念的重要性。
利用数形结合是解题时，画图是关键的步骤。例如第11题如何画图？这里有三条曲线：直线y=x、曲线y=4/x和y=x3+a。前两者好画，第三个怎么办？特值法在这里起作用了，可以令a=0！可见画图中也体现了一个考生的机智与否。图形画出来了，“看图说话”就方便了。
三是分类讨论的数学方法。教学中要让学生掌握：
①什么情况下需要讨论？（根据给出的条件无法得出唯一的正确答案时，就应该分类讨论。）
②如何讨论？（要确定一个分类的标尺，在这一标尺下分几种情况加以讨论。）
例如第20题第3小题试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上，当我们得到方程2aca2+b2-2qa=0时，就发现方程表示的曲线类型不是唯一的，必须讨论。由于b2的系数为1，而a2的系数非1，根据二次曲线相应的二次方程的特征，对a2的系数加以讨论。
四是解题应变能力。有的学生对于见过面的题目会做，对于“陌生”的题目就不会做，或不敢做。为了克服这一毛病，教师就采取题海战术，让学生尽可能多与各种题型见面。可是，天算不如人算，在考试中总会有学生从未见过面的题目。解决这一问题的根本途径还是要在落实双基的前提下，让学生每做一题都要掌握解题的思路、方法以及为什么要用这个方法，从而提高解题能力。基础打好了，能力具备了，数学题就变容易了。
2008-6-27，写于上海
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