微元法在高考物理中的应用

说这类问题做起来也往往心有余而力不足。希望通过以下几个典型的微元法试题训练，能让你从陌生到熟练。

一、从真题中练方法

例题1.（2013全国课标卷I）

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： 

⑴电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。

例题2.（2007·江苏）

   如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：
（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n．

例题3.（2008·江苏）

   如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直． （设重力加速度为g） 
（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek．
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．

（注意：由于a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。）

【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W

二、在强化训练中提升能力

1.（2004哈尔滨）如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：

（1）、ab、cd棒的最终速度；

（2）、全过程中感应电流产生的焦耳热。

2.(1999上海）如图所示，长电阻r＝0.3Ω、m＝0.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨间距也是L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，量程为0～3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0～1.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面。现以向右恒定外力F使金属棒右移。当金属棒以v＝2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏。问：⑴此满偏的电表是哪个表？说明理由。⑵拉动金属棒的外力F多大？（3）此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上。求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。

3.（2004广州）如图所示，金属棒ab质量m＝5g，放在相距L＝1m、处于同一水平面上的两根光滑平行金属导轨最右端，导轨距地高h＝0.8m，电容器电容C＝400μF，电源电动势E＝16V，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中。单刀双掷开关S先打向1，稳定后再打向2，金属棒因安培力的作用被水平抛出，落到距轨道末端水平距离x＝6.4cm的地面上；空气阻力忽略不计，取g＝10m/s2.求金属棒ab抛出后电容器两端电压有多高？

5.（2010模拟）如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨 MN、PQ 平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜 面上，两导轨间距 L＝1m，导轨的电阻可忽略。M、P 两点间接有阻值为 R 的电阻。一 根质量 m＝1kg、电阻 r＝0.2?的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上，与导轨垂直且接触良 好。整套装置处于磁感应强度 B＝0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示 位置起，杆 ab 受到大小为 F＝0.5v＋2（式中 v 为杆 ab 运动的速度，力 F 的单位为 N） 、 方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻 R 的电流随时 间均匀增大。g 取 10m/s2，sin37°＝0.6。 

⑴试判断金属

杆 ab 在匀强磁场中做何种运动，并请写出推理过程；

 ⑵求电阻 R 的阻值；

（3）求金属杆下滑1m所需的时间t以及此过程产生的焦耳热。

 

6.（2012虹口二模）如图（甲）所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个阻值为2Ω的定值电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd的电阻r=2Ω，导轨电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。若棒以1m/s的初速度向右运动，同时对棒施加水平向右的拉力F作用，并保持拉力的功率恒为4W，从此时开始计时，经过一定时间t金属棒的速度稳定不变，电阻R中产生的电热为3.2J，图（乙）为安培力与时间的关系图像。试求：

（1）金属棒的最大速度；（2）金属棒速度为2m/s时的加速度；

（3）此过程对应的时间t；（4）估算0～3s内通过电阻R的电量。