第16讲 数阵图(一)

　　在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

　　那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：

　　左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

　　上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

　　同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以

　　(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，

　　重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

　　重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2 把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所

　　以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于

　　[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

　　因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。

例3 把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，

　　(1+2+3+4+5)+重叠数

　　=每条直线上三数之和×2，

　　所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。

　　因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。

　　若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为

　　(15+1)÷2=8。

　　填法见左下图；

　　若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为

　　(15+3)÷2=9。

　　填法见下中图；

　　若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为

　　(15+5)÷2=10。

　　填法见右下图。

　　由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。

例4 将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

　

分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到

　　(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。

　　由此得出重叠数为

　　[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。

　　剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。

　　如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？

例5 将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

解：与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于

　　[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。

　　剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。

例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。

　　一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。

　　辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有

　　已知各数之和+重叠数×重叠次数

　　=直线上各数之和×直线条数。

　　由此得到：

(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于

　　(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。

　　如例1、例4。

(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。

(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。

 

 练习16

　　1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。

　　如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？

　　2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

　　如果中心数是5，那么又该如何填？

　　3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)

　　4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

　　5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

　　6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。