有红黄蓝绿四色球各10个，放在袋中。摸出21个球，至少有几个同色？至少摸出多少个球保证有5个同色？摸出多少个球至少有2个红球？
红黄白蓝花五色袜子，各10只。至少摸出几只可以配成5双袜子？至少摸出几只有同一种颜色袜子3双？至少摸出几只必有一双红色？
图书室有ABCD四种书若干本。每一件一本书至少几人借书一定有三人借的书相同？没每人可借1-2本至少几人借书一定有2人借的书相同？每人可借1-4本31人借书至少有几人借的书相同？
六一班42名学生，男女人数比为1：1至少任意选取几人，才能保证男女生都有
从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。至少去多少张牌保证有2种花色不同的牌？至少取多少张牌能保证有2张梅花？
学校里最小的学生6岁，最大13岁，从学生中任意选取多少位，一定能保证有3名学生同龄？
黑白黄筷子各8根混在一起，想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少取出多少根才能保证达到要求？
1 红黄蓝绿为抽屉，21个为苹果，4*5+1=21至少有5+1=6个同色.保证有5个要（5-1）*4+1=17个，2个红球要3*10+2=32个。
2 红黄白蓝花为抽屉，配成5双袜子，一双两只，要3*4+2=14只。同一种颜色袜子3双，既6只。要（6-1）*5+1=26只。必有一双红色要4*10+2=42只。
3 ABCD为抽屉，每一件一本书至少4*2+1=9人借书一定有三人借的书相同.每人可借1-2本至少需要4*1+1=5人借书一定有2人借的书相同.每人可借1-4本31人借书至少有7+1=8人借的书相同。
4 42名学生，男女人数比为1：1，选取42/2+1=22人，才能保证男女生都有。
5 2种花色不同的牌要1*13+1=14张，保证有2张梅花要3*13+2=41。
6 最小的学生6岁，最大13岁，不同年龄的有8人，要取8*2+1=17人一定能保证有3名学生同龄。
7 至少取出8+1=9根.
图书馆有A,B,C,D,E五类书,规定每个学生可借阅2本不同的书，那么至少有几个学生借书才能保证有4个同学所借的书类型完全相同？
每个同学借两本书的组合的可能性有以下几种：
1、同一类型中两本不同的书AA/BB/CC/DD/EE，5种情况；
2、不同类型的两本书AB/AC/AD/AE/BC/BD/BE/CD/CE/DE，10种情况；
每种情况有3个人，也就是说一共有15×3=45（人）
第46个人去借书的一定会出现上述15种情况中的一种。
综上所述：至少要46个人才能保证有4个同学所借的书类型完全相同。
上述题中，类型、借书的数量等都可以变，但解题的思路是不会变的。就是把可能出现的情况都列举出来，然后考虑问题。
70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法
“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。 如：
例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？
解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足
“被6除余4，被7除余4”的条件。
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲
例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？
解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是在4上一直加7，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
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