费马点

文档介绍：

费马点的证明方法

费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。

当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候

对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA PB PC≥PP' PB PC'>BC'=AB AC所以A是费马点

3、当所有内角都小于120°时

做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有2S=d(PA PB PC)∵P'A≥P'H所以2S△EP'F≤P'A*d同理有2S△DP'F≤P'B*d2S△EP'D≤P'C*d相加得2S≤d(P'A P