1.什么是费马点:
2.费马点的历史背景:
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展,在近代数学史上具有里程碑式的意义。
例题学习
如图,在Rt△ABC中,AB=4, AC=8, 点P是△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为______
如图,在正方形ABCD中,点P为正方形内部一点,求点P到A、B、C三个顶点距离的最小值。
如图,在△ABC中,AB=AC,点P是△ABC内一点,∠APB=∠BAC=120°,若AP+BP=4,则PC的最小值。(注意不要思维定式哦,认真思考吧)
上面四道例题,请自己先独立思考,在以前学习知识的基础上,用旧知识解决。通过前面的导语,你知道什么是费马点了吗?在上面的例题中,我们都用到了旋转的思想,数学中的四大变换是我们解决中学几何问题的重要方法,充分理解使用的前提条件是什么?遇到什么样的问题,可以考虑旋转?
本问题的解决我们用到了之前讲给的“手拉手模型”,如果还不是很明白,请打开视频观看学习。
(说明:本视频是我2019年春节期间录制,内容详细,容易理解)
【跟踪练习】
2.(1)如图1,点P是等边△ABC内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数。
(2)如图2,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点P是△ABC内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数。
(3)如图,△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,点P是△ABC内任意一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为___________
3.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点P为△ABC内一点.
(1)连接PB,PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B,C,P的对应点分别为点D,A,E,连接CE.
①依题意,请在图2中补全图形;
②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长.
(2)如图3,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
小慧的作法是:以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值,连接CN,当点P落在CN上时,此题可解.
请你参考小慧的思路,在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN.并直接写出当AC=BC=4时,PA+PB+PC的最小值.
4.若点P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.当三角形的最大角小于120°时,可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“.即PA+PB+PC最小.
(1)如图1,向△ABC外作等边三角形△ABD,△AEC.连接BE,DC相交于点P,连接AP.
①证明:点P就是△ABC费马点;
②证明:PA+PB+PC=BE=DC;
(2)如图2,在△MNG中,MN=4,∠M=75°,MG=3.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 .
6.阅读下列材料:
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,连接PD、BE,则BE的长即为所求.
(1)请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60°,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.
本期我们就分享这么多,关于费马点应用,在中考中属于难点,希望同学们能高度重视,学习过程中要多理解,独立思考,完成必要的练习,有助于你提高熟练程度,增强理解。
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