【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第138题

已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．

（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；

（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．

即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，

∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，

不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，

∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．

故答案为：（﹣∞，1]．

考点分析：

绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．

题干分析：

对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域．根据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x﹣2|＞5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．

对于（2）由关于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x﹣2|＞m+2．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．