【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第345题

考点分析：

余弦定理；正弦定理．

题干分析：

（Ⅰ） 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．

（Ⅱ） 法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP的值．

法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：PD、AD和∠PAD的值，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，sin∠BAD和cos∠BAD的值．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．

解题反思：

应熟练掌握正、余弦定理及其变形。解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷。

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

1、利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

2、利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。