【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第687题，立体几何有关的题型讲解

典型例题分析1：

已知正四面体ABCD的棱长为l，E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为．

解：将正四面体放入正方体中，则

正方体的中心即为其外接球的球心，AB为过E的最小截面圆的直径，

如图所示。

则所求截面圆的面积为π·（1/2）2=π/4．

故答案为：π/4．

考点分析：

平面的基本性质及推论．

题干分析：

将正四面体放入正方体中，正方体的中心即为其外接球的球心，AB为过E的最小截面圆的直径，求出截面圆的面积即可．

典型例题分析2：

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．

解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．

∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，

∴BC⊥平面A′DE，

∵A′O⊂平面A′DE，

∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，

∴A′O⊥平面BCD．

∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．

在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，

设AD=1，则AB=2，

∴BD=√5，

考点分析：

直线与平面所成的角．

题干分析：

过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．

典型例题分析3：

如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=√6，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

证明：（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，

∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴△A1AB为正三角形，

∴A1O⊥AB，

∵CA=CB，

∴CO⊥AB，

∵CO∩A1O=O，

∴AB⊥平面COA1，

∵A1C⊂平面COA1，

∴AB⊥A1C．

考点分析：

用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．

题干分析：

（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，由题设条件推导出△A1AB为正三角形，从而得到A1O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A1C．

（Ⅱ）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值．