❝当然了,也是看到群里有人在问,由于本题比较特殊,刚好和余弦定理类似,就想着构造一个图形来秒解。
顺便也提供了些其他的方法,如果同学们也能掌握,估计三角函数就不是问题了。
❞
三角函数题比较简单,基本就是各类公式的灵活运用,这就需要大家对各类三角函数的公式很熟悉,或者利用基本公式能推断出别的公式。当然了,如果处理失当,可能会带来大量的计算。
题目很简单,就是计算三角函数的值。
一看到此类题目,我们就可以联想到余弦定理。
假设角C
对应的角为120°
,则有:
同理,如果我们令:
那感觉离余弦定理更近了些。
那怎么确定sin20°
和sin40°
呢?
如果我们构造出直角三角形,让其斜边为1
,那么,是不是就可以很轻松地得到这两个三角函数呢?
如下图所示:
我们可以构造出一个直径为AB=1
的圆,点D
和E
都是圆周上的点,那么,三角形ADB
和三角形ABE
都是直角三角形。
我们令∠DAB=20°
,∠EAB=40°
,那么:
因此,所求三角函数的值就是DE
长度的平方。
O
为圆心,我们连接OD
和OE
,很明显:
那么,三角形DOE
为等腰三角形,并且两个底角是30°
。
这么特殊的三角形,我们就知道其底边是腰的倍。
因此,。
所以,所求式子的值就是。
这样的数形结合很简单吧,计算量低,基本可以实现秒杀。
一般情况下,对于α
和60-α
的两个角,
恒成立。
对于所求三角函数,其实我们很容易想到立方差公式:
因此,所求三角函数转换为:
怎么对三角函数降幂呢?
如果记不住公式,我们可以通过基本公式推导出来。
譬如,针对3α
:
同理:
所以,
由于sin60°+cos150°=0
,
所以,所求三角函数的值为。
这里其实也不难,只是需要通过基本三角函数公式来降幂。
这里,我们还可以借助平方和公式或平方差公式。
因此,
同理,用平方差公式也可做类似推导。
如果前面三种思路都想不到,我们老老实实地死算也是可以解答的,只是也要注意些技巧,确定一个解题的方向。
我们令30°=α
,10°=β
,由于30°
是特殊角,我们可以先统一成β
即可。
也就是:
化简,可得:
也就是:
代入,也就是:
借助于解题思路一里的图形,我们也可以用托勒密定理来解答。
也就是:
也就是:
从而,。
我们也可以先对平方降幂。
留意到50°=30°+20°
。
继续化简。
这种也比较简单,用到了平方降幂、和差化积、二角和差等公式。
想继续用数形结合的方法来解答,但不同于思路一,需要通过线段将平方和乘积表达出来,读者中谁能想出来吗?
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