林明成——圆锥曲线中的定点定直线问题（高考研究）

解析几何中的“三定”(定值、定点、定直线) 问题，是圆锥曲线的一道靓丽风景，可突出考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，对运算能力逻辑推理能力要求较高，是考查数学核心素养的好题材，备受命题者青睐，是历年高考数学试卷中的热点问题之一，并且主要以解答题的压轴题形式出现.本讲介绍“极点极线”知识，助你“高观点下”看待定点、定直线问题，并给出定点、定直线问题的求解策略.

一、圆锥曲线中奇妙的点线配极

2.自极三角形

如图1，P不是圆锥曲线上的点，过P引两条割线依次交圆锥曲线于，F，G, H四点，直线EH与直线FG交于点N，直线EG与直线FH交于点M，则直线MN为点P对应的极线，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线，称ΔPMN为自极三角形，
     若直线MN交圆锥曲线于A, B,则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线.（见上图1）
3.性质
以椭圆为例说明，双曲线、抛物线有类似性质.
(1)位置关系
若点P在椭圆Γ上，此时极线l为椭圆Γ在点P处的切线;
若点P在椭圆厂外，此时极线l与椭圆Γ相交，过点P向椭圆Γ作两条切线，极线l为切点连线;

若点P在椭圆Γ内，此时极线1与椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两端点处切线交点的轨迹.

特别地，焦点关于椭圆Γ的极线为准线.

(2)斜率关系

二、定点问题的常见求解策略

1.设斜截式，灵活转化

若是证明动直线过定点，可将动直线方程（斜率存在）设为y=kx+m,然后由题设条件将m表示为kn，得到y=k(x+n)，即得直线所过的定点为（-n,0）.

【点评】本题采用了一元设点法，还有两个变量y₁，y₂，利用两个花线条件消去y₁，y₂，得到M₁M₂的直线系方程。既然是定点，那么关于y₀的恒等式对任意的参数恒成立，这时的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线所过的定点。

3.利用齐次式，韦达定理铺路

【点评】从某种意义上说，解题过程就是实现从已知到目标的逻辑过程。本题得用齐次化，为使用韦达定理铺平道路，巧妙地利用了已知条件K_PA+P_KB=-1，得到2m=1+2n，从而迅速过渡到目标。

【作者简介】林明成，  四川省特级教师, 四川省优秀教师, 四川省骨干教师, 市学术与技术带头人, 中国数学会会员. 指导青年教师有方, 先后辅导三名青年教师, 一人获全省赛课一等奖, 二人获全省赛课二等奖. 课件制作得心应手, 曾获四川省中小学课件大赛高中数学第二名. 培优磨尖卓有成效, 先后辅导两名学生获得全国数学联赛一等奖, 先后辅导十多名学生获得高考市状元. 试题研究颇有心得, 曾为《中学数学研究》、《中学生理科应试》等命制高考数学模拟题10多套, 曾获希望杯组委会命题全国二等奖. 解题研究见解独到, 先后在《数学通讯》《中学教研》《中学数学月刊》《高中数学教与学》等刊物上发表文章200多篇, 其中10篇文章被中国人民大学期刊复印中心全文转载. 独著《高考数学宝典》(武汉出版社出版), 参编《高中数学必读》《数学的奥秘》等书5部. 曾为《数理化学习》《中学生理科应试》特约编辑.

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