初一数学基本平面图形这一章,是初中数学学习三角形、四边形、圆的基础,看似简单,实际很多知识点易忘易混,所以总结一下本章知识点。
一、直线、射线、线段
1、线段、射线、直线的定义
(1)线段:线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。
(2)射线:将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,射线有一个端点。射线无法量出长度。
(3)直线:将线段向两个方向无限延伸就形成了直线,直线没有端点。直线无法量出长度。
结论:直线、射线、线段之间的区别:
联系:射线是直线的一部分。线段是射线的一部分,也是直线的一部分。
2、点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
3、直线的性质
(1)直线公理:经过两个点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
二、比较线段的长短
1、线段的性质
(1)线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短。
(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
(5)线段的比较:1.目测法 2.叠合法 3.度量法
2、线段的中点:
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
几何语言:
∵M是线段AB的中点
∴AM=BM=AB(或者AB=2AM=2BM)
三、角
1、角的概念:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
2、平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角。终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角。
3、角的表示:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
4、角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。1°=60’,
把1’ 的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。1’=60”
5、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较。
(3)角可以参与运算。
四、角的比较
1、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
几何语言:
∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
五、典型例题
例题1:观察下列图形,并阅读,图形下面的相关字.
两条直线相交最多有1个交点,三条直线相交最多有3个交点,四条直线相交最多有6个交点;则n条直线最多有( ) 个交点.
例题2:(1)观察图①,图中共有()条直线,()对对项角,() 对邻补角.
(2)观察图②,图中共有()条直线,()对对顶角,() 对邻补角.
(3)观察图⑨,图中共有()条直线,() 对对顶角,()对邻补角.
(4)若有n条不同直线相交于一点,则可以形成() 对对顶角,() 对邻补角.
例题3:在平面内画一条直线,将平面分成两部分;画两条直线,最多将平面分成4部分;画三条直线,最多将平面分成7部分.那么平面内两两相交的n(n≥2,且n为整数)条直线,最多将平面分成 ()部分.
例题4:如图,在直线m上有A、B、C、D四个点,图中共有 ()条线段,有 ()条射线,有 ()直线.如果有n点则有 ()条线段,有()条射线。
例题5:阅读理解:我们知道:一条线段有两个端点,线段AB和线段BA表示同一条线段.若在直线l上取了三个不同的点,则以它们为端点的线段共有()条,若取了四个不同的点,则共有线段()条,……,依此类推,取了n个不同的点,共有线段()条(用含n的代数式表示)
类比探究:以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线.
(1)若引出两条射线,则所得图形中共有 ()个锐角;
(2)若引出n条射线,则所得图形中共有 () 个锐角(用含n的代数式表示)
拓展应用:
一条铁路上共有8个火车站,若一列客车往返过程中必须停靠每个车站,则铁路局需为这条线路准备多少种车票?
例题6:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线,如图1,AC、AD是五边形ABCDE的对角线.思考下列问题:(1)如图2,n边形A1A2A3A4…An中,过顶点A1可以画 ()条对角线,它别是();过顶点A2可以画 () 条对角线,过顶点A3可以画 ()条对角线.
(2)过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗?过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗?
(3)在此基础上,你能发现n边形的对角线条数的规律吗?
(4)n边形A1A2A3A4…An中,过边上一点B可以画 ()条对角线,有() 三角形。
(5)在此基础上,推导出n边形的内角和.例题7:过多边形一个顶点的对角线把多边形分成2012个三角形,则这个多边形的边数是().
例题8:如图所示,已知OB,OC是∠AOD内部的两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠AOD=α,∠MON=β,求∠BOC的大小(用含α,β的式子表示).
例题9:如图(1):给出一个角∠AOB,这时图中的角的个数为1,记作P0=1.
如图(2)如果在∠AOB的内部,从角的顶点O出发任作一条射线,这时共有P1个角,即P1=1+2=3
如图(3)如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发,任作两条不同的射线,这时共有P2个角,即P2=1+2+3=6
如此类推:P3=1+2+3+4=10;P4=1+2+3+4+5=15.
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发,任作n条不同的射线,这时共有Pn个角,那么Pn等于多少?
联系客服