九年级四月数学调研考试第23题：
如图，已知：矩形ABCD中，F是对角线BD上一点，以F为圆心，FB为半径作圆与边AD相切于E，边AB与圆F交于另一点G
（1）若四边形BGEF是菱形，求证：∠EFD=60°；
（2）若AB=15，AD=36，求AE的长；
（3）若BD与圆F交于另一点H，求证：AE：ED=AG：DH
第23题图
解析：（1）菱形BGEF中，将对角线FG连接起来，便发现等边△BFG，或者等边△EFG，然后由EF与AB平行，得出∠EFD=60°；
（2）根据勾股定理，在Rt△ABD中计算出BD=39，事实上这三条边分别是5、12、13的3倍，熟记这组勾股数的同学速度明显会更快。同时由于Rt△ABD与Rt△DEF相似，因此我们在Rt△DEF中，可以将它的三条边分别表示为5k、12k、13k，其中EF为圆的半径，从而BF=5k，则可得BD=18k，列出等式18k=39，求出k值，则AE=36-12k，结果不难求；
（3）最后一问先看结果，比例式一般与相似有关，因此第一条思路便是寻找相似三角形，结论比例式中包含AE与AG，它们恰好在Rt△AEG中，另外一对边为ED与DH，它们恰好在△DEH中，只需要连接EH便可。连接之后，这两个三角形分别与哪个三角形相似呢？解决方法是连接EB，从而得到两对相似三角形：△DEH∽△DBE，△AEG∽△ABE，分别利用这两对相似三角形列出相应的比例式，然后寻找它们之间的联系即可找到思路。
思路一
第二条思路是利用平行线分线段成比例定理和相似三角形，结论中的AE与AG可以通过转换，从而“离DE、DH更近”，以方便构造相似三角形，转换的方法是连接EH和GH，发现形成了一个矩形，还可利用垂径定理，将AG和AE分别转换到KH和EK处，再利用寻找出来的相似三角形列比例式。
思路二
第三条思路是利用平行线分线段成比例定理和三角函数，与第二条思路类似，将这几条线段变得更“近”一些，作HM⊥AD，构造出矩形AGHM，AG=MH，而BF可转换到FE和FH，这是转换关键，最后在Rt△DMH和Rt△DEF中分别利用∠EDF的正弦值列出比例关系。
思路三
在阅卷过程中，还发现了不少学生的新解法，但基本上都出自这三条思路，区别在于所选取的相似三角形不同，以及比例变换不同。也欢迎大家继续研究该题，找出更多解题思路来分享。
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