高考数学数列与不等式的综合推证（2）

例题4、已知数列 {an} 满足 a1 = 1 , a2 = 4 ,

例题4图（1）

（1）求 b1 , b2 , b3 的值 ；

（2）设 cn = bn · bn+1 , Sn 为数列 {cn} 的前 n 项和，求证：Sn ≥ 17n ；

（3）求证：

例题4图（2）

解：

（1）由题设可求得：b1 = 4 , b2 = 17/4 , b3 = 72/17 ；

（2）由

例题4图（3）

可得

例题4图（4）

即

例题4图（5）

所以当 n ≥ 2 时, bn > 4 ，

于是 c1 = b1 · b2 = 17 , cn = bn · bn+1 = 4bn + 1 > 17 ( n ≥ 2 ) ；

故 Sn = c1 + c2 + c3 + ... + cn ≥ 17n ；

（3）

当 n = 1 时 ，∣b2 - b1∣= 1/4 < 17/64="" 成立="">

例题4图（6）

例题4图（7）

注：本题是一道典型的运用放缩法进行推证的试题，推证时通过对数列的递推式的变形，构建出递推不等式，进而运用“放大”的思想和方法逐步放大，从而达到欲证目的。

常见的放缩法技巧：

放缩法技巧图

例题5、（不等价转化法）

例题5图（1）

例题5图（2）

注：两命题 A 和 B 不等价，若由 A 推出 B ，则称 A 是 B 的强不等价命题，称 B 是 A 的弱不等价命题 。

不等价转化法是把待解命题 A 运用恰当方式转化为它的强不等价或若弱不等价命题 B ，通过解决命题 B 而达到解决命题 A 的一种解题方法 。

放缩技巧

1、所谓放缩的技巧：

即欲证 A≤ B ，欲寻找一个（或多个）中间变量 C ，使 A ≤ C ≤ B ，由 A到 C叫做“放”，由 B到 C叫做“缩”。

2、常用的放缩技巧：

放缩技巧图（1）

放缩技巧图（2）

放缩技巧图（3）

放缩技巧图（4）