「试题研究」一题多解：二次函数中面积和直角三角形存在性问题

一、问题呈现

问题如图，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，-3).

（1）k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）在x轴下方、y轴右侧的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线y=x²-2x+k上找点Q，使三角形BCQ是以BC为直角边的直角三角形，请求出点Q的坐标.

二、问题解析

第1问不难，容易求得k=-3，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）．

第2问和第3问具有典型性，解法也较多，接下来我们试图从不同的角度来研究后面这两个问题．

三、解法探究

我们先来研究第2问的多种解法．设点D的坐标为（m，m²-2m-3）.

思路1：作DE⊥AB于E，采用分割法，用含m的二次三项式表示出四边形ABDC的面积，进而求得四边形ABDC的面积最大值及此时点D的坐标．

评注：对于二次函数中的面积问题，采用割补法求面积是一种常见的处理方式．本题通过作垂线，把四边形ABDC的面积分割成一个梯形和两个三角形，从而方便求解．

思路2：连接OD，将四边形ABDC分割为三个三角形，再用含m的二次三项式表示出四边形ABDC的面积，进而求得四边形ABDC的面积的最大值及此时点D的坐标．

评注：同样采用分割法，只是另辟蹊径，仅通过连接OD，将四边形ABDC分割为三个三角形，再求出三个三角形的面积，解题过程显得更简洁．

思路3：实际上由于△ABC的面积是不变的，我们只需要求出△BCD的面积的最大值，就能得到四边形ABDC面积的最大值．接下来我们可以过点D作BC的平行线DE，显然，当直线DE与抛物线“相切”，即DE与抛物线只有唯一公共点时，△BCD的面积的最大，由此得到以下解法3：

解法3：

评注：本解法涉及一元二次方程的相关知识：当一元二次方程的根

的判别式为零时，方程有两个相等的实数根．学习数学的关键在于融会贯

通，引导学生善于发现各知识点之间的相互联系，从而形成数学知识的整体性和连续性．

思路4：如思路3所述，我们只需要求出△BCD的面积的最大值，就能得到四边形ABDC面积的最大值．我们可以作DM⊥AB，将△BCD分割为△CDN和△BDN，利用，再表达出四边形ABDC的面积．

评注：我们在平时的教学中，一定要让学生要重视基本图形的作用，让他们掌握并会灵活运用一些常见的数学基本图形，这往往能给他们解决问题带来曙光．

接下来我们再来研究问题的第3问：

显然要分两种情况：①∠CBQ=90°；②∠BCQ=90°.以下以∠CBQ=90°时求点Q的坐标为例进行说明（当∠BCQ=90°时方法类似，就不赘述．）：

思路1：我们注意到△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，因此∠OBQ=45°，

可以求出直线BQ的解析式，再进一步求出直线BQ与抛物线的交点Q的坐标．

评注：在解决问题时，要重视并挖掘题目中的特殊条件，如特殊的点，特殊的线，特殊的图形，充分发挥它们的作用．本问就是利用了∠OBC=45°这一特殊条件，进而推知点P的坐标，从而给我们解决问题带来便利．

思路2：由于直线BC、BQ互相垂直，则它们的解析式中一次项的系数互为负倒数，由此我们可以确定直线BQ的解析式．

评注：探求图形中的几何特征（本例中是∽），并充分发挥其作用．

至此，我们就这一综合问题，梳理了多种解法，当然，本题的解法应该还不止这些．实际上，我们在平时的教学中，对于一些较为典型的探究性习题，如果能经常引导学生进行一题多解，深入地理解相关知识点及基本图形，进而从中选择较为简洁的解法，对于拓展学生思维，增强学生的探究意识和提高探究能力是大有脾益的．

另外，对于本题，我们还可以尝试进行如下拓展：

这样，通过一题多解，一题多变，可以进一步加深学生对二次函数的知识与方法的理解，领会“化归”的数学思想，丰富学生的解题经验和解题策略，进而在学生的头脑中形成一个有层次的经验系统．我想，如果我们能经常这样引导学生主动地探究，那么，二次函数的综合性问题还会是学生的拦路虎吗？