初中数学：怎样解多边形问题

涉及多边形的有关问题有：求边数、求角度、求多角的和等. 多边形的内角和定理及外角和定理是解决这些问题的关键.

多边形的内角和随着边数的改变而变化，而多边形的外角和不变，总等于360°，它不随边数的改变而变化，因此，许多内角问题常转化为外角问题来处理.

［附：多边形内角和定理：n边形的内角的和=（n － 2）×180°(n大于等于3且n为整数）；

任意多边形的外角和=360°.］

【典例1】

已知：一个多边形的内角和是1800°，求这个多边形的边数.

解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）180°=1800° 则n-2=10，n=12.

点评：对于求多变形的边数n，常根据题设及有关定理列出关于n的方程来求.

【典例2】

一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数.

分析：设该多边形的边数为n，要求出n，需列出关于n的方程，这个多边形的内角和为（n － 2）×180°，又因为“每个内角都等于144°”，则内角和也可以表示为144n，则（n － 2）×180°=144n，由此可以求出n.

还可以这样考虑，由于这个多边形的每个内角都等于144°，则每个外角都等于180°-144°=36°，因此，n又可以由外角和来求.

解法一：设这个多边形的边数为n，根据题意，得

（n － 2）×180°=144n， 解得 n=10.

解法二：设这个多边形的边数为n，根据题意，得

（180°-144°）n=360°，解得 n=10.

点评：解法一是利用内角和定理求解的，解法二是利用外角和求解的，可以看出，解法二比较简单. 对于多边形的内角问题，常可以转化为外角问题，利用外角和定理来解，可使复杂问题简单化.

【典例3】

已知：如下图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

解法一：∵ ∠B+∠C+∠D+∠2=360°，∠E+∠F+∠1+∠3=360°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=720°.

∵ ∠2+∠3=180°，∠1=∠A+∠G，∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=720°-180°=540°.

解法一：连接BF，如下图所示

在五边形BCDEF中， ∠ABF+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠GFB=540°. ∵ ∠ABF+∠GFB= ∠A+∠G，

∴ ∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G=540°.

点评：解法一是将两个四边形的内角和相加，进而转化成所求的多角的和；解法二是运用对顶三角形的性质：如下图

∠A+∠D=∠B+∠C，将所求的多角的和转化成五边形的内角和. 对于求多角和问题，常利用这一性质，将多角和的计算转化成多边形内角和的计算.

【典例4】

一个n边形除去一个内角之外的所有内角之和是1200°，求这个内角的度数.

解法一：∵ 0°＜除去的内角＜180°，∴ 0°＜（n-2）180°-1200°＜180°，1560＜180n＜1560+180，

8＜1560/180＜n＜1560/180+1＜10，∴ n=9，从而所求的角为（9-2）180°-1200°=60°.

解法二：设除去的角为α，则α＜180°，1200°=6×180°+120°，因为多边形的内角和是180°的整数倍，则除去的角与上面的余数之和应为180°，即α+120°=180°，∴ α=60°，即所求的角为60°.

点评：解法一是根据多边形除去的内角都大于0°且小于180°，建立关于n的不等式组，求出边数n，则除去的角就不难求出了；解法二是根据多边形的内角和是180°的整数倍，及每个内角都小于180°，得出1200°÷180的余数与除去的角的和等于180°，从而得到所求的角. 由上面的解法可以看出解法二比较简捷.